Exercices sur le produit scalaire

Orthogonalité — produit scalaire nul
\(\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\)
Plan : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v\) — Espace : \(+\,z_u z_v\)
Ex : \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}\) → \(3\times2+(-1)\times6 = 0\) → orthogonaux

Produit scalaire (coordonnées)
Plan : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v\)
Espace : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v\)
Ex : \(\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix} = 8-3 = \) 5

Produit scalaire (normes et angle)
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\big((\vec{u},\vec{v})\big)\)
Ex : \(\|\vec{u}\|=4\), \(\|\vec{v}\|=3\), angle \(60^\circ\) → \(4\times3\times\tfrac12 = \) 6

Angle entre deux vecteurs
\(\cos\big((\vec{u},\vec{v})\big) = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}\)
Réponse en degrés, arrondie au dixième. Penser à la touche \(\cos^{-1}\) de la calculatrice.

Longueur (norme d'un vecteur)
Plan : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)
Espace : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\)
Ex : \(A(1;2)\), \(B(4;6)\) → \(\sqrt{9+16} = \) 5

Projection orthogonale
\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \overline{OA}\times\overline{OH}\) où \(H\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur \((OA)\).
Avec \(\overline{OH} = OB\times\cos\theta\), on retrouve \(\|\overrightarrow{OA}\|\,\|\overrightarrow{OB}\|\cos\theta\).

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