Limites de fonctions

Limite d'un monôme (en \(\pm\infty\))

\(\lim_{x\to+\infty} x^{n}\)\(+\infty\)

Le signe du coefficient donne le signe de la limite : si le coefficient est négatif, la limite s'inverse.

Limites de l'exponentielle

\(\lim_{x\to+\infty} e^{x}\)\(+\infty\)

\(\lim_{x\to-\infty} e^{x}\)\(0\)

Pour \(e^{-x}\), poser \(u=-x\) : quand \(x\to+\infty\), \(u\to-\infty\), donc \(e^{-x}=e^{u}\to 0\).

Limite du logarithme

\(\lim_{x\to+\infty} \ln(x)\)\(+\infty\)

La fonction \(\ln\) est croissante et non majorée sur \(]0;+\infty[\) : résultat de cours à connaître.

Croissances comparées (en \(+\infty\))

\(e^x\) domine \(x^n\) domine \(\ln(x)\)

\(\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^n}\)\(+\infty\)

\(\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^n}{\ln(x)}\)\(+\infty\)

\(\lim_{x\to+\infty} x^n \cdot e^{-x}\)\(0\)

\(\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n}\)\(0\)

\(\lim_{x\to-\infty} x^n \cdot e^{x}\)\(0\)

Formes indéterminées — 2 méthodes

① Factoriser par le terme dominant Au numérateur et au dénominateur, on factorise par le monôme de plus haut degré, puis on simplifie.
Ex : \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ou \(\dfrac{0}{0}\) avec des polynômes.

② Quantité conjuguée On multiplie par la quantité conjuguée pour lever une forme \(\infty - \infty\) ou \(\frac{0}{0}\) avec des racines carrées.
Ex : \(\sqrt{x^2 + bx} - x \;\to\; \times \dfrac{\sqrt{x^2+bx}+x}{\sqrt{x^2+bx}+x}\)

Fractions rationnelles en \(\pm\infty\)

Degré num. < degré dén.\(0\)

Degré num. = degré dén.rapport des coeff. dominants

Degré num. > degré dén.\(\pm\infty\)

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