\( e^a \times e^b = e^{a+b} \)
\( \dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b} \)
\( (e^a)^b = e^{ab} \)
\( e^0 = 1,\quad e^{-a} = \dfrac{1}{e^a},\quad e^1 = e \)

Exemple : \( e^3 \times e^{-5} = e^{3+(-5)} = e^{-2} \)

On observe trois choses :

• l'ordonnée à l'origine (valeur en \(x=0\)) ;
• le sens de variation (croissante ou décroissante) ;
• l'asymptote horizontale (la droite que la courbe longe).

\(e^x\) : passe par \((0\,;\,1)\), croissante, asymptote \(y=0\).
\(e^{-x}\) : passe par \((0\,;\,1)\), décroissante, asymptote \(y=0\).
\(a\,e^x\) : passe par \((0\,;\,a)\), même allure que \(e^x\).
\(e^x+b\) : passe par \((0\,;\,1+b)\), asymptote \(y=b\).

L'exponentielle est strictement croissante, donc on peut comparer les exposants sans changer le sens :
\( e^A \leq e^B \iff A \leq B \).

Avec un \(x^2\) : on se ramène à un trinôme \(ax^2+bx+c\), on cherche ses racines, puis on étudie son signe (parabole).

Forme \(e^{2x}+s\,e^x+p\) : on pose \(X=e^x\) (avec \(X>0\)), on résout le trinôme en \(X\), puis on revient à \(x\) avec \(e^x = X\).

Réponse : un intervalle, ex. \(]-\infty\,;\,2[\) ou \(]-\infty\,;\,1]\cup[3\,;\,+\infty[\). Utilise les boutons pour les crochets, \(\infty\) et \(\cup\).