Intervalles & Tests — MathsPrime

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Échantillonnage

📖 Définitions — Échantillon et fréquence

Un échantillon de taille n est un ensemble de n individus prélevés au hasard dans une population.

La fréquence (ou proportion) d'un caractère dans un échantillon :

f = nombre d'individus ayant le caractère / n

✏️ Exemple

100 personnes prélevées, 38 favorables à une proposition :

f = 38/100 = 0,38 = 38%

📌 Loi binomiale et fréquence

Si une population a une proportion p d'un caractère et qu'on prélève n individus (avec remise), alors X = nombre d'individus ayant le caractère suit X ~ B(n, p).

La fréquence F = X/n vérifie :

Espérance

E(F) = p

La fréquence est centrée sur p

Écart-type

σ(F) = √(p(1−p)/n)

Diminue quand n augmente

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Intervalle de fluctuation

📖 Définition

Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% est un intervalle I tel que pour environ 95% des échantillons de taille n, la fréquence observée appartient à I.

• Dans ~5% des cas, la fréquence sera hors de l'intervalle • C'est un outil pour juger si un résultat est « normal » ou « surprenant »

📌 Formule — Seconde (simplifiée)

Conditions : n ≥ 25, np ≥ 5, n(1−p) ≥ 5

I = [ p - 1/\sqrtn ; p + 1/\sqrtn ]

📌 Formule — Première

Conditions : n ≥ 30, np ≥ 5, n(1−p) ≥ 5

I = [ p - 1,96\sqrt(p(1-p)/n) ; p + 1,96\sqrt(p(1-p)/n) ]

📖 Origine du coefficient 1,96

1,96 provient de la loi normale : P(−1,96 < Z < 1,96) ≈ 0,95 pour Z ~ N(0;1).

En pratique, on peut approcher 1,96 ≈ 2 pour des calculs rapides.

✏️ Exemple — Pièce équilibrée, 100 lancers

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p = 0,5, n = 100. Conditions : 100 ≥ 25, 50 ≥ 5, 50 ≥ 5 ✓

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I = [0,5 − 1/√100 ; 0,5 + 1/√100] = [0,5−0,1 ; 0,5+0,1]

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I = [0,4 ; 0,6] — Dans 95% des cas, la fréquence de Pile sera entre 40% et 60%

🔧 Prise de décision avec l'intervalle de fluctuation

①

Calculer l'intervalle de fluctuation I au seuil 95%

②

Calculer la fréquence f observée dans l'échantillon

✅

f ∈ I → l'échantillon est compatible avec p (on accepte)

❌

f ∉ I → l'échantillon n'est pas compatible avec p au seuil 95% (on remet en cause)

✏️ Exemple — Industriel : 20% de défauts, échantillon de 100

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p = 0,2, n = 100. f = 32/100 = 0,32. Conditions vérifiées ✓

2

√(p(1−p)/n) = √(0,2×0,8/100) = 0,04

3

I = [0,2−1,96×0,04 ; 0,2+1,96×0,04] ≈ [0,122 ; 0,278]

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f = 0,32 ∉ I → On peut remettre en cause l'affirmation. Il semble y avoir plus de 20% de défauts.

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Intervalle de confiance

Intervalle de fluctuation

p connu → on prédit f

I = [ p ± 1,96√(p(1−p)/n) ]

L'échantillon est-il compatible avec p ?

Intervalle de confiance

f observé → on estime p

I = [ f ± 1/√n ]

Quelle est la vraie valeur de p ?

📌 Formule — Intervalle de confiance au niveau 95%

Conditions : n ≥ 30, nf ≥ 5, n(1−f) ≥ 5

I = [ f - 1/\sqrtn ; f + 1/\sqrtn ]

On utilise la fréquence observée f (p est inconnu). L'intervalle est plus précis quand n est grand.

✏️ Exemple — Sondage électoral : 520/1000 pour le candidat A

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n = 1000, f = 520/1000 = 0,52. Conditions vérifiées ✓

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1/√1000 ≈ 0,0316

3

I ≈ [48,8% ; 55,2%]
Au niveau 95%, la proportion de votants pour A est entre 48,8% et 55,2%.

📌 Marge d'erreur

La marge d'erreur d'un sondage est la demi-largeur de l'intervalle :

e = 1/\sqrtn

Taille n	100	400	1 000	2 500	10 000
Marge e	±10%	±5%	±3,2%	±2%	±1%

Pour une marge de 3% : n = (1/0,03)² ≈ 1111 personnes à interroger.

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Tests d'hypothèse

📖 Principe du test

Un test d'hypothèse permet de décider si une hypothèse sur une population est vraisemblable, à partir d'un échantillon.

H₀ — Hypothèse nulle

Ce qu'on teste : p = p₀ (« pas de changement »)

H₁ — Hypothèse alternative

Ce qu'on suspecte si H₀ est fausse : p ≠ p₀

Le seuil de risque α (souvent 5%) = probabilité de rejeter H₀ alors qu'elle est vraie.

🔧 Procédure du test en 6 étapes

①

Formuler H₀ (p = p₀) et H₁ (p ≠ p₀ ou p > p₀ ou p < p₀)

②

Choisir le seuil α (généralement 5%)

③

Calculer l'intervalle de fluctuation de p₀ au seuil 1 − α

④

Observer la fréquence f dans l'échantillon

✅

f ∈ I → on accepte H₀

❌

f ∉ I → on rejette H₀ au seuil α

✏️ Test bilatéral — Pièce truquée ? 200 lancers, 120 Pile

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H₀ : p = 0,5 (pièce équilibrée) | H₁ : p ≠ 0,5 (truquée). α = 5%

2

√(0,5×0,5/200) ≈ 0,0354
I = [0,5 − 1,96×0,0354 ; 0,5 + 1,96×0,0354] ≈ [0,431 ; 0,569]

3

f = 120/200 = 0,6

4

f = 0,6 ∉ [0,431 ; 0,569] → On rejette H₀. La pièce est truquée.

📌 Tests unilatéraux — Coefficient 1,64

Test à droite

H₀ : p ≤ p₀ | H₁ : p > p₀
Rejeter si f > p₀ + 1,64·σ

Test à gauche

H₀ : p ≥ p₀ | H₁ : p < p₀
Rejeter si f < p₀ − 1,64·σ

✏️ Test unilatéral — Médicament plus efficace ? 100 patients, 72 guéris

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H₀ : p ≤ 0,6 | H₁ : p > 0,6 (test à droite). α = 5%

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σ = √(0,6×0,4/100) ≈ 0,049
Seuil critique : 0,6 + 1,64 × 0,049 ≈ 0,68

3

f = 72/100 = 0,72 > 0,68

4

On rejette H₀. Le nouveau médicament est significativement plus efficace.

⚠️ Erreurs de décision

Décision / Réalité	H₀ vraie	H₀ fausse
Accepter H₀	✓ Bonne décision	✗ Erreur type II (β)
Rejeter H₀	✗ Erreur type I (α)	✓ Bonne décision

• En fixant α = 5%, on accepte 5% de risque d'erreur de type I • Pour diminuer les deux risques simultanément : augmenter n

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Simulateur & Applications

🎮 Calculateur d'intervalles et tests

🏭Exercice 1 — Contrôle qualité (taux de défauts 2%, n=500, 15 défauts)

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p = 0,02, n = 500, f = 15/500 = 0,03. Conditions : 500 ≥ 30, np = 10 ≥ 5 ✓

2

σ = √(0,02×0,98/500) ≈ 0,00626
I ≈ [0,0077 ; 0,0323]

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f = 0,03 ∈ I → On ne peut pas affirmer que le processus s'est dégradé.

🗳️Exercice 2 — Sondage : 456/800 pour le candidat A

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f = 456/800 = 0,57, n = 800. Intervalle de confiance :

2

1/√800 ≈ 0,035 → I ≈ [53,5% ; 60,5%]

3

Tout l'intervalle est > 50% → le candidat peut espérer être élu.

🏥Exercice 3 — Essai clinique (70% → 115/150 guéris)

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H₀ : p = 0,7 | H₁ : p > 0,7 (test unilatéral). f = 115/150 ≈ 0,767

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σ = √(0,7×0,3/150) ≈ 0,0374 | Seuil : 0,7 + 1,64×0,0374 ≈ 0,761

3

f = 0,767 > 0,761 → On rejette H₀. Le médicament est significativement plus efficace.

📊 Aide-mémoire — Coefficients

Coefficient	Utilisation
1,96	Test bilatéral, seuil 5%
1,64	Test unilatéral, seuil 5%
1/√n	Marge d'erreur simplifiée (intervalle de confiance)
√(p(1−p)/n)	Écart-type de la fréquence (intervalle de fluctuation)
n ≥ (1/e)²	Taille minimale pour marge e

Intervalles de fluctuation, de confiance & tests

Échantillonnage

Intervalle de fluctuation

✏️ Exemple — Pièce équilibrée, 100 lancers

✏️ Exemple — Industriel : 20% de défauts, échantillon de 100

Intervalle de confiance

✏️ Exemple — Sondage électoral : 520/1000 pour le candidat A

Tests d'hypothèse

✏️ Test bilatéral — Pièce truquée ? 200 lancers, 120 Pile

✏️ Test unilatéral — Médicament plus efficace ? 100 patients, 72 guéris

Simulateur & Applications

🎮 Calculateur d'intervalles et tests

📐 Visualisation de l'intervalle