Limites de fonctions

1

Limite en un point

📖 Définition 1 — Limite finie en un point

Soit f une fonction définie au voisinage d'un réel a (sauf peut-être en a).

On dit que f admet pour limite le réel ℓ en a si f(x) se rapproche de ℓ quand x se rapproche de a.

lim x\toa f(x) = ℓ

📖 Définition 2 — Limite infinie en un point

On dit que f admet pour limite +∞ (resp. −∞) en a si f(x) devient aussi grand (resp. aussi petit) que l'on veut quand x se rapproche de a.

lim x\toa f(x) = +\infty (ou -\infty)

✏️ Exemples

lim_x→2 (3x + 1) = 7

lim_x→0 1x² = +∞

lim_x→1 ln(x − 1) n'existe pas (mais lim_x→1⁺ = −∞)

📖 Définition 3 — Limites latérales

lim_x→a⁻ f(x) = ℓ — f(x) tend vers ℓ par valeurs inférieures (à gauche)

lim_x→a⁺ f(x) = ℓ — f(x) tend vers ℓ par valeurs supérieures (à droite)

📌 Théorème 1

lim_x→a f(x) = ℓ si et seulement si les deux limites latérales sont égales :

lim x\toa⁻ f(x) = lim x\toa⁺ f(x) = ℓ

✏️ Exemple — f(x) = 1x

x → 0⁻

−∞

x → 0⁺

+∞

x → 0

n'existe pas

2

Limites à l'infini & fonctions usuelles

📖 Définition 4 — Limite finie en +∞

On dit que f admet pour limite le réel ℓ en +∞ si f(x) se rapproche de ℓ quand x devient aussi grand que l'on veut.

lim x\to+\infty f(x) = ℓ

📌 Propriété — Fonctions polynômes

Pour P(x) = aₙxⁿ + … + a₀ avec aₙ ≠ 0, la limite en ±∞ est donnée par le terme de plus haut degré :

lim x\to\pm\infty P(x) = lim x\to\pm\infty aₙxⁿ

📌 Propriété — Fonctions rationnelles

Pour f(x) = P(x)Q(x) de degrés p et q :

p < q lim_x→±∞ f(x) = 0

p = q lim_x→±∞ f(x) = aₚbₓ (coefficients dominants)

p > q lim_x→±∞ f(x) = ±∞

📊 Tableau des limites de référence

Fonction	En +∞	En −∞	En 0⁺	En 0
xⁿ (n pair)	+∞	+∞	0	0
xⁿ (n impair)	+∞	−∞	0	0
1xⁿ	0	0	+∞	n'existe pas
eˣ	+∞	0	1	1
ln(x)	+∞	—	−∞	—
√x	+∞	—	0	0
sin(x), cos(x)	n'existe pas	n'existe pas	—	—

🎮 Simulateur — Observer une limite à l'infini

x	f(x)
Choisir une fonction et cliquer sur Calculer

📌 Croissances comparées

Pour tout entier n ≥ 1 :

∞ lim_x→+∞ eˣxⁿ = +∞ l'expo domine

0 lim_x→+∞ ln(x)xⁿ = 0 le log est écrasé

0 lim_x→0⁺ x ln(x) = 0 limite remarquable

📌 Limites remarquables en 0

lim x\to0 sin(x) x = 1

lim x\to0 eˣ-1 x = 1

lim x\to0 ln(1+x) x = 1

3

Opérations sur les limites

➕ Somme

ℓ + ℓ' — cas standard

ℓ + ∞ = +∞

−∞ + (−∞) = −∞

⚠️ +∞ − ∞ → Forme indéterminée

✖️ Produit

ℓ × ℓ' — cas standard

ℓ > 0 × (+∞) = +∞

ℓ < 0 × (+∞) = −∞

⚠️ 0 × ∞ → Forme indéterminée

➗ Quotient

ℓℓ' (ℓ' ≠ 0) — cas standard

ℓ∞ = 0

ℓ ≠ 0 → ℓ0 = ±∞

⚠️ ∞/∞ et 0/0 → Formes indéterminées

📌 Théorème — Limite d'une fonction composée

Si lim_x→a g(x) = b et lim_x→b f(x) = ℓ, alors :

lim x\toa f(g(x)) = ℓ

Exemple : lim_x→+∞ e^−x
Poser g(x) = −x → −∞ et lim_u→−∞ eᵘ = 0, donc = 0

⚠️ Formes indéterminées — récapitulatif

+∞ − ∞ 0 × ∞ ∞ / ∞ 0 / 0 1^∞ 0⁰ ∞⁰

Ces formes ne permettent pas de conclure directement. Il faut lever l'indétermination par une technique de calcul.

4

Lever les formes indéterminées

🔧 Méthode 1 — Forme ∞/∞ : factoriser par le terme dominant

Pour lim_x→±∞ P(x)Q(x) : factoriser numérateur et dénominateur par leur terme de plus haut degré, puis simplifier.

✏️ Exemple — lim_x→+∞ (3x² − 5x + 1) / (2x² + x − 3)

1

Factoriser par x² au numérateur et au dénominateur :
= x²(3 − 5x + 1x²)x²(2 + 1x − 3x²)

2

Simplifier et faire tendre x → +∞ (les termes en 1x → 0) :
= 3 − 0 + 02 + 0 − 0

3

Résultat : = 32

🔧 Méthode 2 — Forme +∞ − ∞ : expression conjuguée

Pour lever √A − √B : multiplier et diviser par √A + √B, puis utiliser (a−b)(a+b) = a² − b².

✏️ Exemple — lim_x→+∞ (√(x² + 2x) − x)

1

Multiplier par l'expression conjuguée :
= x² + 2x − x²√(x² + 2x) + x = 2x√(x² + 2x) + x

2

Factoriser par x (avec x > 0, √(x²) = x) :
= 2xx(√(1 + 2x) + 1) = 2√(1 + 2x) + 1

3

Faire tendre x → +∞ : = 21 + 1 = 1

🔧 Méthode 3 — Forme 0 × ∞ : transformer en quotient

Réécrire le produit comme un quotient pour obtenir une forme 0/0 ou ∞/∞, puis appliquer la méthode appropriée.

✏️ Exemple — lim_x→+∞ x e^−x

1

Réécrire : x e^−x = xeˣ → forme ∞/∞

2

Appliquer les croissances comparées : lim_x→+∞ xeˣ = 0

3

Résultat : = 0

📊 Tableau récapitulatif des formes indéterminées

Forme indéterminée	Technique de levée
∞/∞	Factoriser par le terme de plus haut degré (polynômes, racines)
0/0	Simplifier la fraction, factoriser, ou utiliser une limite remarquable
+∞ − ∞	Expression conjuguée (si racines) ou factorisation par le terme dominant
0 × ∞	Transformer en quotient pour obtenir 0/0 ou ∞/∞
1^∞, 0⁰, ∞⁰	Utiliser la fonction ln (passage à l'exponentielle)

5

Asymptotes

Verticale

x = a

Si lim_x→a⁻ f(x) = ±∞ ou lim_x→a⁺ f(x) = ±∞

Horizontale

y = ℓ

Si lim_x→±∞ f(x) = ℓ

Oblique

y = ax + b

Si lim_x→+∞ [f(x) − (ax+b)] = 0

✏️ Exemple 1 — Asymptote verticale : f(x) = 1x−2

x → 2⁻

−∞

x → 2⁺

+∞

→ La droite x = 2 est une asymptote verticale.

✏️ Exemple 2 — Asymptote horizontale : f(x) = 2x+1x−3

lim_x→±∞ 2x+1x−3 = 2 (degrés égaux, rapport des coeff. dominants)

→ La droite y = 2 est une asymptote horizontale en ±∞.

🔧 Méthode — Recherche d'une asymptote oblique en +∞

1

Calculer a = lim_x→+∞ f(x)x

2

Calculer b = lim_x→+∞ [f(x) − ax]

3

L'asymptote oblique est y = ax + b

✏️ Exemple — Asymptote oblique de f(x) = x² + x + 1x + 1

1

a = lim_x→+∞ x² + x + 1x(x + 1) = lim x²+x+1x²+x = 1

2

Division euclidienne : x² + x + 1 = (x+1)·x + 1, donc f(x) = x + 1x+1
b = lim_x→+∞ [f(x) − x] = lim 1x+1 = 0

3

L'asymptote oblique est : y = x