Calcul intégral — MathsPrime

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Primitives

📖 Définition — Primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et :

F'(x) = f(x) pour tout x \in I

📌 Théorème — Unicité à une constante près

Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sont de la forme :

x \mapsto F(x) + k où k \in ℝ

Il existe une infinité de primitives, mais elles ne diffèrent que d'une constante.

✏️ Exemples de primitives

f(x) = 2x → F(x) = x²

f(x) = cos(x) → F(x) = sin(x)

f(x) = eˣ → F(x) = eˣ

📊 Primitives usuelles à connaître

Fonction f(x)	Primitive F(x)	Conditions
k (constante)	kx	—
xⁿ	xⁿ⁺¹n+1	n ≠ −1
1x	ln\|x\|	x ≠ 0
eˣ	eˣ	—
cos(x)	sin(x)	—
sin(x)	−cos(x)	—
1cos²(x)	tan(x)	x ≠ π2 + kπ
1√x	2√x	x > 0
1x²	−1x	x ≠ 0

📌 Opérations sur les primitives

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Primitive de f + g est F + G

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Primitive de k × f est k × F

📌 Primitives composées — formes u′eᵘ, u′/u, u′uⁿ

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Primitive de u′(x) eᵘ⁽ˣ⁾ est eᵘ⁽ˣ⁾
Ex : primitive de 2x·eˣ² est eˣ² (car (x²)′ = 2x)

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Primitive de u′(x) / u(x) est ln|u(x)|
Ex : primitive de 2x/(x²+1) est ln(x²+1) (car (x²+1)′ = 2x)

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Primitive de u′(x)·[u(x)]ⁿ est [u(x)]ⁿ⁺¹ / (n+1) avec n ≠ −1
Ex : primitive de 2x·(x²+1)³ est (x²+1)⁴/4

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Intégrale définie

📖 Définition — Intégrale de a à b

Soit f continue sur [a ; b] et F une primitive de f. L'intégrale de f de a à b est :

\int b a f(x) dx = F(b) - F(a) = [F(x)] a b

• a est la borne inférieure, b la borne supérieure • Le résultat ne dépend pas du choix de F • La variable x est muette

✏️ Exemple — ∫31 2x dx

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Trouver une primitive de f(x) = 2x : F(x) = x²

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Appliquer : [x²]₁³ = 3² − 1² = 9 − 1 = 8

📐 Interprétation graphique — Aire sous la courbe

∫ba f(x) dx (si f ≥ 0 sur [a,b]) a b ∫ba f < 0 (f ≤ 0 ici) Aire = |∫ba f| f(x) ≥ 0 → intégrale > 0 f(x) ≤ 0 → intégrale < 0

📌 Propriétés de l'intégrale

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∫aa f(x) dx = 0

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∫ba f(x) dx = −∫ab f(x) dx (inversion des bornes)

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∫ba k·f(x) dx = k·∫ba f(x) dx (linéarité)

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∫ba [f(x)+g(x)] dx = ∫ba f(x) dx + ∫ba g(x) dx (linéarité)

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Relation de Chasles :
∫ba f(x) dx = ∫ca f(x) dx + ∫bc f(x) dx

✏️ Exemple — Relation de Chasles

Sachant que ∫20 f(x) dx = 5 et ∫52 f(x) dx = 3 :

1. ∫50 f(x) dx = 5 + 3 = 8

2. ∫05 f(x) dx = −∫50 f(x) dx = −8

3. ∫20 3f(x) dx = 3 × 5 = 15

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Calcul d'intégrales

🎮 Calculatrice d'intégrales usuelles

a =

b =

✏️ Exemple — ∫10 (3x² + 2x − 1) dx

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Décomposer et utiliser la linéarité :
= 3∫10x² dx + 2∫10x dx − ∫101 dx

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Calculer chaque intégrale :
= 3·[x³3]₀¹ + 2·[x²2]₀¹ − [x]₀¹
= 3·13 + 2·12 − 1 = 1 + 1 − 1

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Résultat : I = 1

✏️ Exemple — ∫10 e²ˣ dx (forme u′eᵘ)

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Reconnaître la forme u′eᵘ avec u(x) = 2x, u′(x) = 2
On écrit : e²ˣ = 12·2·e²ˣ

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Primitive de e²ˣ est e²ˣ2

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I = [e²ˣ2]₀¹ = e²2 − 12 = e² − 12

✏️ Exemple — ∫21 2x/(x²+1) dx (forme u′/u)

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Reconnaître u′u avec u(x) = x²+1, u′(x) = 2x

2

Primitive de 2xx²+1 est ln(x²+1)

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J = [ln(x²+1)]₁² = ln(5) − ln(2) = ln(52)

📊 Intégrales à connaître

Intégrale	Résultat	Conditions
∫ba k dx	k(b − a)	—
∫ba xⁿ dx	[xⁿ⁺¹n+1]_a^b	n ≠ −1
∫ba eˣ dx	[eˣ]_a^b	—
∫ba 1x dx	[ln(x)]_a^b	0 < a < b
∫ba cos(x) dx	[sin(x)]_a^b	—
∫ba sin(x) dx	[−cos(x)]_a^b	—

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Valeur moyenne

📖 Définition — Valeur moyenne

Soit f une fonction continue sur [a ; b]. La valeur moyenne de f sur [a ; b] est :

μ = 1 b-a \cdot \int b a f(x) dx

Interprétation géométrique

μ·(b−a) = ∫ba f(x) dx

La valeur moyenne est la hauteur du rectangle de base (b−a) ayant la même aire que sous la courbe.

✏️ Exemple — Valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 3]

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Calculer l'intégrale : ∫30 x² dx = [x³3]₀³ = 273 − 0 = 9

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Diviser par (b−a) = 3 :
μ = (1/3) × 9 = 3

📐 Visualisation — Rectangle de valeur moyenne

∫ba f μ·(b−a) = même aire

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Applications

📌 Calcul d'aire — Méthode

f≥0

Si f(x) ≥ 0 sur [a;b] : Aire = ∫ba f(x) dx

f≤0

Si f(x) ≤ 0 sur [a;b] : Aire = −∫ba f(x) dx = |∫ba f(x) dx|

f,g

Aire entre deux courbes : ∫ba |f(x) − g(x)| dx

📐 Exercice 1 — Aire sous f(x) = x²

Calculer l'aire du domaine délimité par f(x) = x², l'axe des abscisses et les droites x = 1 et x = 3.

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f(x) = x² ≥ 0 sur [1 ; 3] → Aire = ∫31 x² dx

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= [x³3]₁³ = 273 − 13 = 263

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Résultat : Aire = 263 u.a. ≈ 8,67 u.a.

🌐 Exercice 2 — Aire sous f(x) = −x² + 4

Calculer l'aire entre f(x) = −x² + 4 et l'axe des abscisses sur [0 ; 2].

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f(x) ≥ 0 sur [0;2] car −x²+4 ≥ 0 ⟺ x² ≤ 4

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A = ∫20 (−x²+4) dx = [−x³3 + 4x]₀²

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= (−83 + 8) − 0 = 163 → Aire = 163 u.a. ≈ 5,33 u.a.

🔢 Exercice 3 — Équation avec intégrale

Déterminer a > 0 tel que ∫a0 2x dx = 8.

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Calculer l'intégrale : [x²]₀^a = a² − 0 = a²

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Résoudre : a² = 8

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Comme a > 0 : a = 2√2