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La fonction exponentielle
📖 Définition 1 — Fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée exp ou x ↦ eˣ, est l'unique fonction f définie sur ℝ telle que :
f'(x) = f(x)
f(0) = 1
Le nombre e ≈ 2,718 est le nombre d'Euler.
📌 Propriété 1 — Propriétés algébriques de eˣ
Produit
eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ
Quotient
eᵃeᵇ = eᵃ⁻ᵇ
Inverse
e⁻ᵃ = 1eᵃ
Puissance
(eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ
e⁰ = 1 · eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ
✏️ Exemple 1
e³ × e⁵
e³⁺⁵ = e⁸
e⁷ / e⁴
e⁷⁻⁴ = e³
(e²)³
e²ˣ³ = e⁶
e⁻² × e⁵
e⁻²⁺⁵ = e³
📌 Propriétés 2 & 3 — Variations et dérivée
- eˣ est strictement croissante sur ℝ
- limx→−∞ eˣ = 0 · limx→+∞ eˣ = +∞
(eˣ)' = eˣ — (eu)' = u' × eu
✏️ Exemple 2 — Dérivées composées
f(x) = e²ˣ
f'(x) = 2e²ˣ
u=2x, u'=2
u=2x, u'=2
g(x) = ex²+1
g'(x) = 2x·ex²+1
u=x²+1, u'=2x
u=x²+1, u'=2x
h(x) = e−3x
h'(x) = −3e−3x
u=−3x, u'=−3
u=−3x, u'=−3
k(x) = ex²−x
k'(x) = (2x−1)ex²−x
u=x²−x, u'=2x−1
u=x²−x, u'=2x−1
📈 Graphe de eˣ — explore la courbe
Courbe bleue : f(x)=eˣ — tangente verte en x₀ de pente f'(x₀)=ex₀
x₀ =
0
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La fonction logarithme népérien
📖 Définition 2 — ln est la réciproque de eˣ
ln est définie sur ]0 ; +∞[ et :
y = ln(x) ⟺ eʸ = x
ln(1) = 0 · ln(e) = 1 · ln(eˣ) = x · eln(x) = x
📌 Propriété 4 — Propriétés algébriques de ln
Produit
ln(a×b) = ln(a) + ln(b)
Quotient
ln(ab) = ln(a) − ln(b)
Inverse
ln(1a) = −ln(a)
Puissance
ln(aⁿ) = n·ln(a)
ln(√a) = 12·ln(a)
✏️ Exemple 3
ln(2) + ln(5)
= ln(10) ≈ 2,303
ln(8) − ln(2)
= ln(4) ≈ 1,386
ln(e³)
= 3
2 ln(3)
= ln(9) ≈ 2,197
📌 Propriétés 5 & 6 — Variations et dérivée
- ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[
- limx→0⁺ ln(x) = −∞ · limx→+∞ ln(x) = +∞
(ln x)' = 1x — (ln u)' = u'u
✏️ Exemple 4 — Dérivées composées
f(x) = ln(2x)
f'(x) = 22x = 1x
g(x) = ln(x²+1)
g'(x) = 2xx²+1
h(x) = ln(3x−1)
h'(x) = 33x−1
k(x) = ln(eˣ+1)
k'(x) = eˣeˣ+1
📈 Graphes de eˣ, ln(x) et y = x — symétrie par rapport à y=x
Les courbes eˣ (bleu) et ln(x) (vert) sont symétriques par rapport à la droite y = x (pointillés gris)
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Équations et inéquations
📌 Propriété 7 — Équations avec eˣ
eᵃ = eᵇ ⟺ a = b · eᵃ < eᵇ ⟺ a < b
📌 Propriété 8 — Équations avec ln
ln(a) = ln(b) ⟺ a = b · ln(a) < ln(b) ⟺ a < b
✏️ Exemples 5 & 6
e²ˣ = e⁵
2x = 5
x = 52
x = 52
eˣ⁺¹ = 3
x+1 = ln(3)
x = ln(3)−1 ≈ 0,099
x = ln(3)−1 ≈ 0,099
e³ˣ ≥ e²
3x ≥ 2
x ≥ 23
x ≥ 23
ln(x) = 2
x = e² ≈ 7,389
ln(2x) = ln(5)
2x = 5
x = 52
x = 52
ln(x) ≤ 1 (x > 0)
x ≤ e¹ = e
S = ]0 ; e]
S = ]0 ; e]
🎮 Résolveur — équations exp et ln
Résultat
4
Limites remarquables
📌 Propriété 9 — Croissances comparées
eˣ → +∞
lim eˣx = +∞
eˣ → +∞
lim eˣxⁿ = +∞
x → −∞
lim x·eˣ = 0
ln(x)x → 0
lim ln(x)x = 0
x·ln(x) → 0
lim x·ln(x) = 0
(x→0⁺)
(x→0⁺)
Limite fondamentale
lim eˣ−1x = 1
(x→0)
(x→0)
🔎 Interprétation
- L'exponentielle croît plus vite que toute puissance de x.
- Le logarithme croît moins vite que toute puissance de x (même x⁰·⁰¹).
📈 Croissances comparées — eˣ vs xⁿ vs ln(x)
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Applications
Exercice 1 — e²ˣ − 3eˣ + 2 = 0
Posons X = eˣ (X > 0)
X² − 3X + 2 = 0 → Δ = 1
X = 2 ou X = 1
eˣ = 2 → x = ln(2)
eˣ = 1 → x = 0
S = {0 ; ln(2)}
X² − 3X + 2 = 0 → Δ = 1
X = 2 ou X = 1
eˣ = 2 → x = ln(2)
eˣ = 1 → x = 0
S = {0 ; ln(2)}
Exercice 2 — Simplifier ln(4)+ln(5)−ln(20)
= ln(4×5) − ln(20)
= ln(20) − ln(20)
= 0
= ln(20) − ln(20)
= 0
🎮 Calculateur de dérivées — (eᵘ)' et (ln u)'
Dérivée f'(x)