Équations différentielles

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Introduction

📖 Définition — Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui fait intervenir cette fonction ainsi que ses dérivées.

On cherche toutes les fonctions dérivables sur un intervalle I qui vérifient l'équation : ce sont les solutions.

✏️ Exemples d'équations différentielles

y′ = 2y Type y′ = ay

y′ + 3y = 5 Type y′ = ay + b

y″ − 4y′ + 3y = 0 Ordre 2 (hors programme)

⚠️ Points clés à retenir dès le départ

∞

Une équation différentielle a en général une infinité de solutions (une pour chaque valeur de la constante C)

🎯

Une condition initiale y(x₀) = y₀ permet de déterminer une solution unique

✅

Toujours vérifier sa solution en la réinjectant dans l'équation

2

Équation y′ = ay

📖 Définition

L'équation y′ = ay est une équation différentielle où a ∈ ℝ et y est une fonction dérivable sur ℝ.

📌 Théorème — Solutions de y′ = ay

y(x) = C · eᵃˣ où C ∈ ℝ

Il existe une infinité de solutions (une par valeur de C). La solution y = 0 correspond à C = 0.

🔧 Méthode — Résolution avec condition initiale

1

Écrire la solution générale : y(x) = Ceᵃˣ

2

Utiliser la condition initiale : y(x₀) = y₀

3

En déduire la valeur de C, puis écrire la solution particulière

✏️ Exemple — y′ = 3y, y(0) = 2

1

Solution générale : y(x) = Ce³ˣ

2

Condition initiale : y(0) = Ce⁰ = C = 2

3

Solution particulière : y(x) = 2e³ˣ

✏️ Autres exemples — y′ = ay

y′ = −2y

y(x) = Ce^−2x (C ∈ ℝ) — décroissance exponentielle

y′ = −2y avec y(1) = 5

Solution générale : Ce^−2x
y(1) = Ce⁻² = 5 → C = 5e²
Solution particulière : y(x) = 5e^2−2x

y′ = 0,5y avec y(0) = 10

y(0) = C = 10 → Solution : y(x) = 10e^0,5x

📌 Comportement selon le signe de a

a > 0

y(x) → +∞ quand x → +∞
Croissance exponentielle

a = 0

y(x) = C (constante)
y′ = 0

a < 0

y(x) → 0 quand x → +∞
Décroissance exponentielle

3

Équation y′ = ay + b

📖 Définition

L'équation y′ = ay + b avec a ≠ 0 et b ∈ ℝ.

La fonction constante y₀ = −ba est appelée solution d'équilibre : si y = y₀, alors y′ = 0 et ay + b = 0 ✓

📌 Théorème — Solutions de y′ = ay + b

y(x) = C · eᵃˣ − ba où C ∈ ℝ

Solution d'équilibre (constante) : y₀ = −ba

🔧 Méthode — Résolution de y′ = ay + b

1

Calculer la solution d'équilibre : y₀ = −ba

2

Écrire la solution générale : y(x) = Ceᵃˣ + y₀

3

Si condition initiale y(x₀) = y₁ : déterminer C

4

Écrire la solution particulière

✏️ Exemple complet — y′ = 2y + 6, y(0) = 1

1

Solution d'équilibre : y₀ = −62 = −3

2

Solution générale : y(x) = Ce²ˣ − 3

3

Condition initiale : y(0) = C·e⁰ − 3 = C − 3 = 1 → C = 4

4

Solution particulière : y(x) = 4e²ˣ − 3

✏️ Autres exemples — y′ = ay + b

y′ = −y + 5

y₀ = −5/(−1) = 5 → Solution générale : y(x) = Ce^−x + 5

y′ = 3y − 9 avec y(0) = 7

y₀ = 93 = 3 → y(x) = Ce³ˣ + 3
y(0) = C + 3 = 7 → C = 4
Solution : y(x) = 4e³ˣ + 3

y′ = −2y + 8 avec y(1) = 2

y₀ = 4 → y(x) = Ce^−2x + 4
y(1) = Ce⁻² + 4 = 2 → Ce⁻² = −2 → C = −2e²
Solution : y(x) = −2e^2−2x + 4

📌 Comportement selon le signe de a

a < 0 — Convergence

y(x) → y₀ = −b/a quand x → +∞
Convergence vers l'équilibre

a > 0 — Divergence

y(x) → ±∞ quand x → +∞
Divergence (sauf si on part de y₀)

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Simulateur & visualisation

🎮 Résoudre une équation différentielle pas-à-pas

a =

b =

x₀ =

y₀ =

5

Applications concrètes

🦠 Croissance bactérienne

Une population de bactéries évolue selon P′(t) = 0,2·P(t). À t = 0 : 1000 bactéries.

1

Solution générale : P(t) = Ce^0,2t

2

Condition initiale : P(0) = C = 1000

3

Solution : P(t) = 1000e^0,2t

4

Après 5 heures : P(5) = 1000e¹ = 1000e ≈ 2718 bactéries

☕ Refroidissement — Loi de Newton

Un café à 90°C refroidit dans une pièce à 20°C avec k = 0,1 min⁻¹.

T′(t) = −k(T − Ta) = −0,1·T(t) + 2 → forme y′ = ay + b avec a = −0,1, b = 2

1

Solution d'équilibre : T₀ = −2−0,1 = 20°C (température ambiante ✓)

2

Solution générale : T(t) = Ce^−0,1t + 20

3

Condition initiale : T(0) = C + 20 = 90 → C = 70

4

Solution : T(t) = 70e^−0,1t + 20
Après 10 min : T(10) = 70e⁻¹ + 20 ≈ 45,8°C

⚡ Circuit RC — Charge d'un condensateur

R : résistance (Ω)

C : capacité du condensateur (F)

E : tension (force électromotrice, en V)

τ = RC : constante de temps (s)

q(t) : charge du condensateur (C) à l'instant t

La loi des mailles donne l'équation différentielle :

q'(t) = - 1 τ \cdotq(t) + E τ

C'est une équation de la forme y′ = ay + b avec a = −1τ et b = Eτ, soit b = ERC.
La solution d'équilibre est q₀ = −ba = E/τ1/τ = E (la charge tend vers E quand t → +∞).

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Exercices types & récapitulatif

✏️ Exercice 1 — y′ = 4y, y(0) = 3

1

Solution générale : y(x) = Ce⁴ˣ

2

y(0) = C = 3

3

Solution : y(x) = 3e⁴ˣ

✏️ Exercice 2 — 2y′ − 6y = 0, y(1) = e³

1

Diviser par 2 : y′ = 3y → Solution générale : y(x) = Ce³ˣ

2

y(1) = Ce³ = e³ → C = 1

3

Solution : y(x) = e³ˣ

✏️ Exercice 3 — y′ + 2y = 10, y(0) = 8

1

Réécrire : y′ = −2y + 10

2

Solution d'équilibre : y₀ = −10−2 = 5

3

Solution générale : y(x) = Ce^−2x + 5

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y(0) = C + 5 = 8 → C = 3 → Solution : y(x) = 3e^−2x + 5

📊 Tableau récapitulatif

Type	Solution générale	Remarques
y′ = ay	y(x) = Ceᵃˣ C ∈ ℝ	y = 0 toujours solution (C = 0)
y′ = ay + b	y(x) = Ceᵃˣ − ba C ∈ ℝ	a ≠ 0 ; équilibre y₀ = −ba
Condition initiale y(x₀) = y₀	Détermine C → solution unique
a < 0 dans y′ = ay + b	Convergence vers y₀ = −ba
a > 0 dans y′ = ay + b	Divergence (sauf si y(x₀) = y₀)

⚠️ Points clés à retenir

∞

Une équation différentielle a une infinité de solutions

🎯

Une condition initiale y(x₀) = y₀ détermine une solution unique

✅

Toujours vérifier en réinjectant dans l'équation

⚖️

La solution d'équilibre de y′ = ay + b est y₀ = −ba