📖 Équation cartésienne d'une droite
Toute droite (d) du plan admet une équation cartésienne :
ax + by + c = 0 avec (a, b) ≠ (0, 0)
Un point M(x₀ ; y₀) ∈ (d) ⟺ ax₀ + by₀ + c = 0
📖 Vecteur directeur u
Un vecteur u parallèle à la droite.
Pour ax + by + c = 0 :
u = (−b ; a)
📖 Vecteur normal n
Un vecteur n perpendiculaire à la droite.
Pour ax + by + c = 0 :
n = (a ; b)
✏️ Exemple — (d) : 2x − 3y + 1 = 0
✅ A(1 ; 1) ∈ (d) ?
2×1 − 3×1 + 1 = 0 ✓
❌ B(0 ; 2) ∈ (d) ?
2×0 − 3×2 + 1 = −5 ≠ 0
Vecteur directeur
u = (3 ; 2)
Vecteur normal
n = (2 ; −3)
📖 Équation réduite
Toute droite non verticale admet une équation réduite :
y = mx + p
m
Coefficient directeur (pente)
Passage cartésienne → réduite : isoler y. Ex : 2x−3y+1=0 → y = 23x + 13
📌 Parallèles & perpendiculaires
⊥ Perpendiculaires
m₁ × m₂ = −1
🔧 Méthode — Droite passant par deux points A et B
①
Calculer m = yB − yAxB − xA
③
Substituer les coordonnées de A pour trouver p
④
Écrire l'équation finale
✏️ Droite passant par A(1 ; 2) et B(3 ; 8)
2
y = 3x + p Passage par A(1;2) : 2 = 3×1 + p → p = −1
3
Équation : y = 3x − 1 ou 3x − y − 1 = 0
✏️ Droite perpendiculaire à (d) : y = 2x − 3 passant par A(2 ; 1)
1
Coefficient directeur de (d) : m = 2
2
Coefficient directeur de la perpendiculaire : m′ = −12
3
Passage par A(2;1) : 1 = −12×2 + p → p = 2
4
Équation : y = −x2 + 2 ou x + 2y − 4 = 0
📖 Représentation paramétrique d'une droite
Une droite (d) passant par A(xA ; yA ; zA) de vecteur directeur u(a ; b ; c) :
{
x = xA + t·a
y = yA + t·b
z = zA + t·c
t ∈ ℝ
• Chaque valeur de t donne un point de la droite • t = 0 donne le point A • La représentation n'est pas unique
✏️ Droite par A(1;2;−1), u = (2;−1;3) — B(5;0;5) ∈ (d) ?
1
Représentation : x = 1+2t, y = 2−t, z = −1+3t
2
Résoudre pour B(5;0;5) :
5 = 1+2t → t = 2
0 = 2−t → t = 2
5 = −1+3t → t = 2
3
Les 3 équations donnent t = 2 → B ∈ (d) ✓
🔧 Droite passant par deux points A et B dans l'espace
①
Calculer AB = (xB−xA ; yB−yA ; zB−zA) (vecteur directeur)
②
Écrire la représentation paramétrique avec A comme point de référence
✏️ Droite (AB) avec A(1;−2;3) et B(4;1;0)
1
AB = (3;3;−3) → on simplifie : u = (1;1;−1)
2
Représentation paramétrique :
x = 1+t y = −2+t z = 3−t (t ∈ ℝ)
📌 Positions relatives de deux droites dans l'espace
≡ Confondues
Tous leurs points en commun. Vecteurs directeurs colinéaires + un point commun.
∥ Parallèles strictes
Aucun point commun. Vecteurs directeurs colinéaires mais droites disjointes.
✕ Sécantes
Un unique point commun. Vecteurs directeurs non colinéaires, système compatible.
↗↖ Non coplanaires
Ni parallèles ni sécantes. Vecteurs directeurs non colinéaires, système incompatible.
📖 Équation cartésienne d'un plan
Tout plan (P) de l'espace admet une équation cartésienne :
ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) ≠ (0, 0, 0)
M(x₀;y₀;z₀) ∈ (P) ⟺ ax₀ + by₀ + cz₀ + d = 0
📖 Vecteur normal à un plan
Si (P) : ax + by + cz + d = 0, alors le vecteur n = (a ; b ; c) est normal au plan.
n est orthogonal à toutes les droites contenues dans (P)
✏️ Plan (P) : 2x − y + 3z − 6 = 0
A(1;2;2) ∈ (P) ?
2×1 − 2 + 3×2 − 6 = 0 ✓
Vecteur normal
n = (2 ; −1 ; 3)
🔧 Méthode — Plan par un point A et vecteur normal n
①
Écrire l'équation générale : ax + by + cz + d = 0
②
Substituer les coordonnées de A pour trouver d
③
Écrire l'équation finale du plan
✏️ Plan par A(1;2;−1), n = (3;−1;2)
1
Équation générale : 3x − y + 2z + d = 0
2
Passage par A : 3×1 − 2 + 2×(−1) + d = 0 → d = 1
3
Équation du plan : 3x − y + 2z + 1 = 0
🔧 Plan défini par trois points A, B, C — Produit vectoriel
Calculer AB ∧ AC pour obtenir un vecteur normal.
u(x₁;y₁;z₁) ∧ v(x₂;y₂;z₂) = (y₁z₂−z₁y₂ ; z₁x₂−x₁z₂ ; x₁y₂−y₁x₂)
✏️ Plan (ABC) avec A(1;0;1), B(2;1;0), C(0;1;2)
1
AB = (1;1;−1) AC = (−1;1;1)
2
Produit vectoriel :
n = AB ∧ AC = (1×1−(−1)×1 ; (−1)×(−1)−1×1 ; 1×1−1×(−1)) = (2;0;2)
Simplifié : n = (1;0;1)
3
Équation : x + z + d = 0. Passage par A(1;0;1) : 1+1+d=0 → d=−2
4
Équation du plan : x + z − 2 = 0
📌 Plans parallèles & perpendiculaires
∥ Plans parallèles
Les vecteurs normaux sont colinéaires :
n₂ = k·n₁ avec k ∈ ℝ*
⊥ Plans perpendiculaires
Les vecteurs normaux sont orthogonaux :
n₁·n₂ = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
🔧 Intersection d'une droite et d'un plan
①
Écrire la représentation paramétrique de (d)
②
Substituer x, y, z dans l'équation de (P)
③
Résoudre l'équation en t
④
Solution unique → calculer le point d'intersection
Aucune solution → droite ∥ au plan
Équation toujours vraie → droite ⊂ plan
✏️ Intersection de (d) : x=1+2t, y=−1+t, z=3−t et (P) : x+y+z−5=0
1
Substitution : (1+2t) + (−1+t) + (3−t) − 5 = 0
2
Simplification : 2t − 2 = 0 → t = 1
3
Point d'intersection : x=3, y=0, z=2 → I(3 ; 0 ; 2)
📐Exercice 1 — Droite par A(2;5), m = −3
2
Passage par A : 5 = −3×2 + p → p = 11
⊥Exercice 2 — (d₁) : y = 2x+1 et (d₂) : y = −x2+3 sont-elles perpendiculaires ?
m₁ × m₂ = 2 × (−12) = −1
Oui, les droites sont perpendiculaires ✓
🔀Exercice 3 — (d) : x=t, y=2t, z=1+t et (P) : x−y+z=1
1
Substitution : t − 2t + (1+t) = 1 → 0 = 0
2
Équation toujours vraie → la droite est incluse dans le plan
📊 Récapitulatif — Droites dans le plan
| Élément | Équation / formule | Remarque |
|---|
| Équation cartésienne | ax + by + c = 0 | (a,b) ≠ (0,0) |
| Équation réduite | y = mx + p | Droite non verticale |
| Vecteur directeur | u = (−b ; a) | ou (1 ; m) |
| Vecteur normal | n = (a ; b) | ⊥ à la droite |
| Parallèles | m₁ = m₂ | Même pente |
| Perpendiculaires | m₁ × m₂ = −1 | m₂ = −1/m₁ |
📊 Récapitulatif — Droites et plans dans l'espace
| Élément | Droite | Plan |
|---|
| Équation | Paramétrique x=xA+ta… | ax+by+cz+d=0 |
| Vecteur directeur | u = (a ; b ; c) | — |
| Vecteur normal | — | n = (a ; b ; c) |
| Parallèles | u₁ ∥ u₂ (colinéaires) | n₁ ∥ n₂ (colinéaires) |
| Perpendiculaires | u₁ · u₂ = 0 | n₁ · n₂ = 0 |
📖 Plans particuliers
| Plan | Équation | Vecteur normal |
|---|
| Plan (Oxy) | z = 0 | k = (0;0;1) |
| Plan (Oxz) | y = 0 | j = (0;1;0) |
| Plan (Oyz) | x = 0 | i = (1;0;0) |
| ∥ à (Oxy) | z = k | k = (0;0;1) |
| ∥ à (Oxz) | y = k | j = (0;1;0) |
| ∥ à (Oyz) | x = k | i = (1;0;0) |