1
La dérivation
📖 Définition 1 — Nombre dérivé
Le nombre dérivé de f en a est la limite :
f'(a) = limh→0 f(a+h) − f(a)h
f'(a) = pente de la tangente à la courbe en x = a = taux de variation instantané
📌 Propriété 1 — Équation de la tangente au point d'abscisse a
y = f'(a)(x − a) + f(a)
f(x) = x², a = 2 : f'(x) = 2x → f'(2) = 4, f(2) = 4
Tangente : y = 4(x−2)+4 = 4x−4
Tangente : y = 4(x−2)+4 = 4x−4
🎮 Tangente interactive — explore f(x) et sa tangente en a
a =
1
Courbe :
📌 Dérivées des fonctions usuelles
| f(x) | f'(x) | Domaine |
|---|---|---|
| k | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| xⁿ (n∈ℕ*) | nxⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1x | −1x² | ℝ* |
| √x | 12√x | ]0;+∞[ |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| ln(x) | 1x | ]0;+∞[ |
| sin(x) | cos(x) | ℝ |
| cos(x) | −sin(x) | ℝ |
📌 Propriétés 2, 3, 4, 5 — Opérations sur les dérivées
| Opération | Formule |
|---|---|
| Somme | (u+v)' = u' + v' |
| Constante × fonction | (ku)' = ku' |
| Produit | (uv)' = u'v + uv' |
| Quotient | (uv)' = u'v − uv'v² |
| Puissance uⁿ | (uⁿ)' = n·u'·uⁿ⁻¹ |
Dérivées composées :
| f(u) | (f(u))' |
|---|---|
| eᵘ | u'·eᵘ |
| ln(u) | u'u |
| √u | u'2√u |
| sin(u) | u'·cos(u) |
| cos(u) | −u'·sin(u) |
✏️ Exemples 3, 4, 5, 6
Produit — (2x+1)(x²−3)
u=2x+1, u'=2 ; v=x²−3, v'=2x
f'=2(x²−3)+(2x+1)(2x)
= 6x²+2x−6
f'=2(x²−3)+(2x+1)(2x)
= 6x²+2x−6
Quotient — (x+1)/(x−2)
u'=1, v'=1
f' = 1·(x−2)−(x+1)·1(x−2)² = −3(x−2)²
f' = 1·(x−2)−(x+1)·1(x−2)² = −3(x−2)²
Composée — e^(3x+1)
u=3x+1, u'=3
f'= 3e^(3x+1)
f'= 3e^(3x+1)
Composée — ln(x²+1)
u=x²+1, u'=2x
g' = 2xx²+1
g' = 2xx²+1
Composée — √(2x−5)
u=2x−5, u'=2
h' = 22√(2x−5) = 1√(2x−5)
h' = 22√(2x−5) = 1√(2x−5)
Produit — (3x²−1)·eˣ
u=3x²−1, u'=6x ; v=eˣ, v'=eˣ
f'= eˣ(3x²+6x−1)
f'= eˣ(3x²+6x−1)
🎮 Calculateur de dérivées — opérations et composées
Résultat
2
Les primitives
📖 Définition 3 — Primitive
F est une primitive de f sur I si F est dérivable et F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I.
Si F est une primitive, toutes les primitives sont F(x) + k (k ∈ ℝ). Il y en a une infinité — elles diffèrent d'une constante.
📌 Primitives des fonctions usuelles
| f(x) | F(x) (primitive) | Conditions |
|---|---|---|
| k | kx | ℝ |
| x | x²2 | ℝ |
| xⁿ (n≠−1) | xⁿ⁺¹n+1 | ℝ |
| 1x | ln|x| | x≠0 |
| 1x² | −1x | x≠0 |
| √x | 23x^(3/2) | x≥0 |
| 1√x | 2√x | x>0 |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| cos(x) | sin(x) | ℝ |
| sin(x) | −cos(x) | ℝ |
📌 Propriété 8 — Primitives composées (forme u'f(u))
| f(x) = u'×... | F(x) |
|---|---|
| u'·uⁿ | uⁿ⁺¹n+1 |
| u'u | ln|u| |
| u'·eᵘ | eᵘ |
| u'2√u | √u |
| u'·cos(u) | sin(u) |
| u'·sin(u) | −cos(u) |
✏️ Exemples 8 & 9
Polynôme — 4x³−6x²+2x−5
F(x) = x⁴ − 2x³ + x² − 5x + k
(primitives générales)
(primitives générales)
u'·u³ — 2x(x²+1)³
u=x²+1, u'=2x
F(x) = (x²+1)⁴4
F(x) = (x²+1)⁴4
u'/u — 3x²x³+5
u=x³+5, u'=3x²
G(x) = ln(x³+5)
G(x) = ln(x³+5)
u'·eᵘ — 6x·e^(3x²)
u=3x², u'=6x
H(x) = e^(3x²)
H(x) = e^(3x²)
📌 Méthode 2 — Primitive avec condition initiale F(x₀) = y₀
- Trouver la forme générale : F(x) = … + k
- Substituer : F(x₀) = y₀ pour trouver k
- Écrire la primitive particulière
f(x) = 3x²−2x+1, F(1) = 5
F(x) = x³−x²+x+k → F(1) = 1+k = 5 → k = 4
F(x) = x³−x²+x+4
F(x) = x³−x²+x+k → F(1) = 1+k = 5 → k = 4
F(x) = x³−x²+x+4
🎮 Calculateur de primitives
Primitive F(x)
3
Applications — tableau de variations
📌 Théorème 1 — Lien entre f' et variations de f
f'(x) > 0 → f croissante ↗
f'(x) < 0 → f décroissante ↘
f'(x) = 0 → f constante ou extremum
✏️ Exemple 7 — f(x) = x³ − 3x + 2
f'(x) = 3x²−3 = 3(x−1)(x+1)
| x | −∞ | −1 | 1 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x−1 | − | − | − | − | 0 | + | + |
| x+1 | − | − | 0 | + | + | + | + |
| f'(x) | + | + | 0 | − | 0 | + | + |
| f(x) | ↗ | 4 | ↘ | 0 | ↗ |
Maximum local en x=−1 : f(−1)=4 · Minimum local en x=1 : f(1)=0
✏️ Application 3 — f(x) = x − ln(x) sur ]0;+∞[
f'(x) = 1 − 1x = x−1x
x<1 → f'<0 (décroissant) · x>1 → f'>0 (croissant)
Minimum en x=1 : f(1) = 1−ln(1) = 1
x<1 → f'<0 (décroissant) · x>1 → f'>0 (croissant)
Minimum en x=1 : f(1) = 1−ln(1) = 1
🎮 Étude d'un polynôme — dérivée, tableau de signes et courbe
f(x) =
x³ +
x² +
x +
f'(x) et extrema
📋 Formules dérivées
(u+v)' = u'+v' · (ku)' = ku'
(uv)' = u'v+uv' · (uv)' = u'v−uv'v²
(uⁿ)' = n·u'·uⁿ⁻¹ · (eᵘ)' = u'eᵘ
(ln u)' = u'u · (√u)' = u'2√u
(uv)' = u'v+uv' · (uv)' = u'v−uv'v²
(uⁿ)' = n·u'·uⁿ⁻¹ · (eᵘ)' = u'eᵘ
(ln u)' = u'u · (√u)' = u'2√u
📋 Formules primitives
u'·uⁿ → uⁿ⁺¹n+1 · u'u → ln|u|
u'·eᵘ → eᵘ · u'2√u → √u
u'·cos(u) → sin(u) · u'·sin(u) → −cos(u)
+ condition initiale : F(x₀) = y₀ → trouver k
u'·eᵘ → eᵘ · u'2√u → √u
u'·cos(u) → sin(u) · u'·sin(u) → −cos(u)
+ condition initiale : F(x₀) = y₀ → trouver k