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📚 Terminale — Chapitre

Théorèmes de convergence

Suites monotones et bornées, théorème de convergence monotone, théorème des gendarmes

📈 Monotonie 📏 Suites bornées 🥪 Théorème des gendarmes 🎯 Point fixe
📋 Sommaire
1

Suites monotones et bornées

📖 Définition — Monotonie

Une suite (un) est :

croissante si pour tout n, un+1 ≥ un
décroissante si pour tout n, un+1 ≤ un

Elle est monotone si elle est croissante, ou si elle est décroissante (sur tout son ensemble de définition).

📖 Définition — Suite bornée

(un) est majorée par M si, pour tout n, un ≤ M.
(un) est minorée par m si, pour tout n, un ≥ m.
Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

✏️ Exemple

La suite définie par un+1 = 13un + 4 et u0 = 1 est strictement croissante et majorée par 6 — on l'admettra ou on le démontrera par récurrence selon l'énoncé.

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Théorème de convergence monotone

🏛️ Théorème (admis)

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

💡 Remarque importante

Ce théorème garantit l'existence d'une limite finie L, mais ne donne pas sa valeur. Il faut une méthode à part pour calculer L.

🛠️ Méthode — Trouver la limite L (suite récurrente)

Si un+1 = f(un) avec f continue, et si (un) converge vers L, alors L vérifie l'équation du point fixe :

L = f(L)

On résout cette équation pour trouver L.

📝 Exemple résolu

Soit (un) définie par u0 = 1 et, pour tout n, un+1 = 12un + 3. On admet que (un) est monotone et bornée.

1
D'après le théorème de convergence monotone, (un) converge vers une limite finie L.
2
La fonction f(x) = 12x + 3 est affine donc continue : L vérifie L = f(L).
3
L = 12L + 3
L − 12L = 3
12L = 3
4
Conclusion : L = 6
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Théorème des gendarmes

🏛️ Théorème (admis)

Soient (un), (vn) et (wn) trois suites telles que, pour tout n :

vn ≤ un ≤ wn

Si (vn) et (wn) convergent vers la même limite L, alors (un) converge aussi vers L.

🛠️ Méthode
1
Encadrer le terme borné (cos, sin ou (−1)n) grâce à −1 ≤ ⋯ ≤ 1.
2
Faire apparaître un au centre de l'encadrement : multiplier, diviser ou ajouter la même quantité aux trois membres (attention au sens de l'inégalité si on multiplie/divise par un nombre négatif).
3
Calculer la limite commune des deux suites encadrantes.
4
Conclure par le théorème des gendarmes.

📝 Exemple résolu

Soit un = 5 + cos(n)n pour n ≥ 1.

1
Pour tout n, −1 ≤ cos(n) ≤ 1, donc 4 ≤ 5 + cos(n) ≤ 6.
2
En divisant par n > 0 (le sens des inégalités ne change pas) :
4n ≤ un ≤ 6n
3
4n → 0 et 6n → 0 quand n → +∞.
4
Par le théorème des gendarmes : un → 0
💡 Remarque

Le terme encadré n'a pas besoin d'être cos ou sin : tout ce qui est borné entre deux constantes fonctionne, y compris (−1)n.

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Pour aller plus loin — théorèmes de comparaison

📐 Propriété (admise)

Si, pour tout n, un ≥ vn et si vn → +∞, alors un → +∞.

De même, si un ≤ wn et si wn → −∞, alors un → −∞.

💡 Lien avec le théorème des gendarmes

C'est le même principe d'encadrement, mais utilisé pour prouver une divergence vers l'infini plutôt qu'une convergence : il suffit d'une seule suite de comparaison (pas besoin des deux côtés de l'encadrement).

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Quel théorème choisir ?

Dans l'énoncé...Théorème à utiliser
Une suite récurrente (un+1 = f(un)) dont on admet qu'elle est monotone et bornéeConvergence monotone + point fixe L = f(L)
Une expression avec un terme borné et oscillant (cos, sin, (−1)n) qu'on peut encadrerThéorème des gendarmes
Une suite donnée par une formule explicite simple (sans terme oscillant)Calcul direct de la limite — aucun théorème d'encadrement nécessaire

🔢 Simulateur — suite récurrente un+1 = a·un + b