Loi binomiale — MathsPrime

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Épreuve de Bernoulli

📖 Définition — Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles :

✅ Succès (S)

S

Probabilité = p

❌ Échec (S̄)

S̄

Probabilité = 1 − p

Le nombre p est appelé paramètre de l'épreuve, avec 0 ≤ p ≤ 1.

✏️ Exemples d'épreuves de Bernoulli

🪙

Lancer une pièce

Succès : Pile → p = 0,5 | Échec : Face → q = 0,5

🃏

Tirer une carte dans 52 cartes

Succès : un As → p = 452 = 113 | Échec : autre → q = 1213

⚽

Tirer un penalty

Succès : marquer → p = 0,8 | Échec : manquer → q = 0,2

📖 Définition — Variable aléatoire de Bernoulli

La variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p est la variable X qui prend :

Succès

X = 1

probabilité p

Échec

X = 0

probabilité 1 − p

xᵢ	0	1
P(X = xᵢ)	1 − p	p

📌 Espérance et variance de Bernoulli

Espérance E(X)

E(X) = p

Variance V(X)

V(X) = p(1−p)

Écart-type σ(X)

σ = √(p(1−p))

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Schéma de Bernoulli

📖 Définition — Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli consiste à répéter n fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre p.

🔧 Conditions à vérifier

🔁

On répète la même épreuve exactement n fois

🔗

Les épreuves sont indépendantes les unes des autres

📌

La probabilité de succès p reste constante à chaque épreuve

🔢

On ne s'intéresse qu'au nombre total de succès

✏️ Schéma de Bernoulli : oui ou non ?

✅ Lancer 5 fois une pièce → n = 5, p = 0,5

Même épreuve, indépendantes, p constant → OUI

✅ Un archer tire 10 flèches, probabilité centre = 0,7 → n = 10, p = 0,7

Même épreuve, indépendantes, p constant → OUI

❌ Tirer 3 cartes sans remise

Les probabilités changent à chaque tirage → NON (pas d'indépendance)

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Loi binomiale B(n, p)

📖 Définition — Loi binomiale

Soit X le nombre de succès obtenus lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p.

On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée :

X ~ B(n, p)

X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, …, n

📌 Formule fondamentale

P(X = k) = (nk) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ

où (nk) = n!k! × (n−k)! est le coefficient binomial « k parmi n »

📖 Coefficient binomial (n k)

(n k) représente le nombre de façons de choisir k éléments parmi n.

(n0)

= 1

(n1)

= n

(nn)

= 1

(nk)

= (nn−k)

Sur calculatrice : touche nCr ou (nk) dans le menu combinaisons.

✏️ Exemple — X ~ B(5 ; 0,5) : lancer 5 fois une pièce

1

P(X = 2) — exactement 2 Pile :
= (52) × 0,5² × 0,5³ = 10 × 0,25 × 0,125 = 0,3125

2

P(X = 0) — aucun Pile :
= (50) × 0,5⁰ × 0,5⁵ = 1 × 1 × 0,03125 = 0,03125

3

P(X = 5) — 5 Pile :
= (55) × 0,5⁵ × 0,5⁰ = 1 × 0,03125 × 1 = 0,03125

✏️ Loi complète — X ~ B(4 ; 0,6)

k	0	1	2	3	4
P(X = k)	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

Vérification : 0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1296 = 1 ✓

🎮 Simulateur — Distribution B(n, p)

n =

p =

4

Calcul de probabilités

📌 Probabilités avec inégalités

⬇️

P(X ≤ k) = P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k)

⬆️

P(X ≥ k) = P(X=k) + P(X=k+1) + … + P(X=n)

↔️

P(a ≤ X ≤ b) = P(X=a) + … + P(X=b)

🔄

Astuce — événement contraire :
P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1)

✏️ Exemple — X ~ B(10 ; 0,3)

a

P(X = 3) :
= (103) × 0,3³ × 0,7⁷ = 120 × 0,027 × 0,0824 ≈ 0,2668

b

P(X ≤ 2) : Somme P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) → calculatrice (Bcd)

c

P(X ≥ 7) : événement contraire plus rapide :
= 1 − P(X ≤ 6) → calculer P(X ≤ 6) à la calculatrice

d

P(2 ≤ X ≤ 5) :
= P(X ≤ 5) − P(X ≤ 1)

🖩 Utilisation de la calculatrice

P(X = k)

Menu STAT/DIST → BINOMIAL → Bpd

Entrer n, p et k

P(X ≤ k)

Menu STAT/DIST → BINOMIAL → Bcd

Entrer n, p et k (cumulatif)

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Espérance, variance et écart-type

📌 Formules pour X ~ B(n, p)

Espérance E(X)

E(X) = np

Variance V(X)

V(X) = np(1−p)

Écart-type σ(X)

σ = √(np(1−p))

• E(X) = np représente le nombre moyen de succès attendus
• La variance mesure la dispersion autour de cette moyenne

🎲 Exemple — Lancer 100 fois un dé, X = nombre de 6

X ~ B(100 ; 16)

Espérance

100 × 16 ≈ 16,67

Variance

100×16×56 ≈ 13,89

Écart-type

√13,89 ≈ 3,73

→ En moyenne on obtient environ 17 fois un 6, avec un écart d'environ ±4.

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Applications & conditions

🏭 Application 1 — Contrôle qualité

Une entreprise fabrique des pièces dont 5% sont défectueuses. On prélève un échantillon de 20 pièces. X = nombre de pièces défectueuses.

a

X compte des succès (pièces défectueuses) sur n = 20 épreuves indépendantes, p = 0,05 constant → X ~ B(20 ; 0,05)

b

P(X = 0) — aucune défectueuse :
= 0,95²⁰ ≈ 0,358

c

P(X ≥ 2) — au moins 2 défectueuses :
= 1 − P(X ≤ 1) = 1 − (0,358 + 0,377) ≈ 0,265

d

Espérance : E(X) = 20 × 0,05 = 1 → en moyenne, 1 pièce défectueuse par échantillon

🏥 Application 2 — Médecine

Un traitement a une probabilité de réussite de 0,7. On l'administre à 15 patients. X = nombre de succès.

a

X ~ B(15 ; 0,7)

b

P(X = 10) : = (1510) × 0,7¹⁰ × 0,3⁵ ≈ 0,206

c

P(X ≥ 12) : = 1 − P(X ≤ 11) → calculatrice

d

Espérance : E(X) = 15 × 0,7 = 10,5 → en moyenne 10 ou 11 patients guéris

🔧 Quand la loi binomiale s'applique-t-elle ?

✅ OUI

Lancer 20 fois une pièce
Tirer 10 cartes avec remise
Interroger 100 personnes indépendantes

❌ NON

Tirer 5 cartes sans remise
Personnes d'une même famille (dépendance)
Compter un temps d'attente

⚠️ Approximation — Tirage sans remise dans grande population

On peut approximer par une loi binomiale si :

n \leq 0,1 \times N

où N est la taille de la population et n le nombre de tirages. Les probabilités varient si peu qu'on peut les considérer constantes.

Exemple : ville de 100 000 habitants, sondage de 500 personnes → 500/100 000 = 0,005 < 0,1 → loi binomiale applicable

📊 Tableau récapitulatif — Aide-mémoire

À retenir	Formule / Méthode
Épreuve de Bernoulli	2 issues : succès (p) ou échec (1−p)
Schéma de Bernoulli	n répétitions indépendantes, p constant
Loi binomiale	X ~ B(n,p) : compte le nombre de succès
P(X = k)	(nk) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ
P(X ≤ k)	Somme ou calculatrice Bcd
P(X ≥ k)	1 − P(X ≤ k−1)
Espérance E(X)	np (nombre moyen de succès)
Variance V(X)	np(1−p)
Écart-type σ(X)	√(np(1−p))