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Vecteurs dans le plan
📖 Définition 1 — Vecteur
Un vecteur est caractérisé par :
- Une direction (droite support)
- Un sens (orientation sur cette droite)
- Une norme (longueur/distance)
Le vecteur du point A vers B se note AB. On note aussi u, v, etc.
🎨 Vecteur AB — direction, sens, norme
Origine A (bleu), Extrémité B (orange) — AB ≠ BA (sens opposé en rouge)
🔎 Remarque 1
- L'origine de AB est A, l'extrémité est B.
- AB ≠ BA (sens opposés).
- Vecteur nul : AA = 0 (origine = extrémité, norme nulle).
📖 Définition 3 — Égalité de vecteurs
AB = CD si et seulement si les deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même norme.
📌 Propriété 2 — Norme dans un repère orthonormé
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors :
‖AB‖ = √( (xB−xA)² + (yB−yA)² )
Exemple : A(1 ; 2) et B(4 ; 6) : ‖AB‖ = √(9 + 16) = √25 = 5
2
Opérations sur les vecteurs
📖 Définition 5 — Relation de Chasles
AB + BC = AC
On additionne les vecteurs bout à bout. Si l'extrémité du premier = l'origine du second, on peut téléscoper.
🎨 Relation de Chasles — visualisation bout à bout
📌 Règle du parallélogramme
Si ABCD est un parallélogramme : AB + AD = AC
✏️ Exemple 2 — Simplification par Chasles
AB + BC + CD
= AC + CD (Chasles sur AB + BC)
= AD
= AC + CD (Chasles sur AB + BC)
= AD
📖 Définition 8 — Multiplication par un réel k
Le vecteur ku a :
- La même direction que u
- Le même sens si k > 0, sens opposé si k < 0
- Une norme |k| × ‖u‖
Si k = 0 ou u = 0 alors ku = 0.
🎮 Multiplication par un scalaire — explore k
k =
2
3
Colinéarité
📖 Définition 9 — Vecteurs colinéaires
u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k·u (même direction).
📌 Propriété 7 — Critère du déterminant
u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si :
xy' − x'y = 0
Cette expression s'appelle le déterminant de u et v.
✏️ Exemples 4
u(2;3) et v(4;6) ?
2×6 − 4×3 = 12 − 12 = 0
✅ Colinéaires (v = 2u)
✅ Colinéaires (v = 2u)
u(1;2) et v(3;5) ?
1×5 − 3×2 = 5 − 6 = −1 ≠ 0
❌ Pas colinéaires
❌ Pas colinéaires
u(−3;2) et v(6;−4) ?
(−3)(−4) − 6×2 = 12−12 = 0
✅ Colinéaires (v = −2u)
✅ Colinéaires (v = −2u)
A(1;2), B(3;5), C(5;8) alignés ?
AB(2;3), AC(4;6)
2×6−4×3 = 0
✅ Alignés
2×6−4×3 = 0
✅ Alignés
📌 Applications — alignement et parallélisme
- A, B, C alignés ⟺ AB et AC colinéaires
- Droites (AB) et (CD) parallèles ⟺ AB et CD colinéaires
🎮 Vérificateur de colinéarité — u(x;y) et v(x';y')
(
)
u
et
(
)
v
Déterminant et résultat
4
Repérage dans le plan
📌 Propriété 10 — Coordonnées de AB
AB xB − xAyB − yA
📌 Propriété 11 — Opérations avec les coordonnées
Addition
u + v = x + x'y + y'
Mult. scalaire
ku = kxky
Norme
‖u‖ = √(x²+y²)
📌 Propriété 12 — Coordonnées du milieu
I = milieu de [AB] : I (xA+xB)/2(yA+yB)/2
✏️ Exemple 7 — u(2;3) et v(−1;4)
u + v
(1 ; 7)
3u
(6 ; 9)
2u − v
(4;6)−(−1;4) = (5 ; 2)
‖u‖
√(4+9) = √13 ≈ 3,61
🎮 Calculateur de vecteurs — u(x;y) et v(x';y')
Résultat
5
Vecteurs dans l'espace
📖 Définition 11 — Repère de l'espace (O ; i, j, k)
Tout vecteur u s'écrit : u = x·i + y·j + z·k de façon unique.
Si A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) : AB xB−xAyB−yAzB−zA
📌 Propriété 14 — Norme dans l'espace
‖u‖ = √(x² + y² + z²)
A(1;2;−1) et B(4;0;3) : AB = (3;−2;4)
‖AB‖ = √(9+4+16) = √29 ≈ 5,39
‖AB‖ = √(9+4+16) = √29 ≈ 5,39
🎮 Calculateur 3D — AB et ‖AB‖
Point A
(
)
Point B
(
)
AB et ‖AB‖
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Produit scalaire
📖 Définition 12 — Produit scalaire
u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v)
u · u = ‖u‖²
📌 Propriété 15 — Calcul avec les coordonnées
Dans le plan
u·v = xx' + yy'
Dans l'espace
u·v = xx' + yy' + zz'
📖 Définition 13 — Orthogonalité
u ⊥ v (orthogonaux) ⟺ u · v = 0
u(3;2) et v(2;−3) : 3×2 + 2×(−3) = 6−6 = 0 → u ⊥ v ✓
🎮 Calculateur produit scalaire u·v (plan 2D)
(
)
u
·
(
)
v
Produit scalaire et orthogonalité
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Applications & récapitulatif
Exercice 1 — Simplifier
AB + BC − DC
= AC − DC = AC + CD = AD
= AC − DC = AC + CD = AD
Exercice 2 — Parallélogramme ABCD
AC = AB + AD
(règle du parallélogramme)
(règle du parallélogramme)
Exercice 4 — ABCD est-il un parallélogramme ?
A(1;2), B(3;−1), C(7;−7), D(5;−4)
AB(2;−3), DC(5−7;−4−(−7)) = (−2;3)
AB ≠ DC → Non, ce n'est pas un parallélogramme.
AB(2;−3), DC(5−7;−4−(−7)) = (−2;3)
AB ≠ DC → Non, ce n'est pas un parallélogramme.
📋 Formules essentielles
| Formule | Expression |
|---|---|
| Relation de Chasles | AB + BC = AC |
| Coordonnées de AB | (xB−xA ; yB−yA) |
| Norme dans le plan | √(x²+y²) |
| Milieu de [AB] | (xA+xB2 ; yA+yB2) |
| Colinéarité u(x;y), v(x';y') | xy' − x'y = 0 |
| Produit scalaire (plan) | u·v = xx' + yy' |
| Orthogonalité | u·v = 0 ⟺ u ⊥ v |