Statistiques

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Rappels de 3ème

📌 À retenir — indicateurs de 3ème

En 3ème, vous avez appris à calculer :

La moyenne :
somme des (valeur × effectif) effectif total
La médiane M : valeur qui partage la série en deux moitiés égales
L'étendue : valeur max − valeur min
La fréquence : effectif d'une valeur ÷ effectif total (souvent exprimée en %)

En 2nde, on enrichit ces outils avec les quartiles et le diagramme en boîte pour mieux décrire la dispersion d'une série.

✏️ Série de référence — Notes de la classe de 2nde A

Les 20 notes (sur 20) d'un devoir de mathématiques, rangées dans l'ordre croissant :

Cette série rangée (n = 20) sera utilisée tout au long du chapitre.

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Les quartiles Q₁ et Q₃

📖 Définition — Quartiles

Les quartiles partagent la série rangée en quatre quarts d'effectif égal :

Q₁ (premier quartile) : au moins 25 % des valeurs sont ≤ Q₁
Q₂ = M (médiane) : au moins 50 % des valeurs sont ≤ M
Q₃ (troisième quartile) : au moins 75 % des valeurs sont ≤ Q₃

🔧 Méthode — Comment calculer Q₁ et Q₃ ?

1

Ranger la série dans l'ordre croissant.

2

Trouver la médiane M (Q₂) : valeur du milieu pour un effectif impair, moyenne des deux valeurs centrales pour un effectif pair. Elle partage la série en deux moitiés.

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Q₁ est la médiane de la moitié inférieure (valeurs strictement avant M). Si la médiane était la valeur exacte du milieu, on l'exclut.

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Q₃ est la médiane de la moitié supérieure (valeurs strictement après M).

⚠️ Remarque

Il existe plusieurs conventions pour calculer les quartiles (notamment selon les logiciels). Au lycée en France, on utilise la méthode des médianes des demi-séries. Les résultats peuvent légèrement différer d'un outil à l'autre.

✏️ Application — Série des 20 notes

Série rangée (n = 20) :

Médiane M : n = 20 (pair) → moyenne des 10ème et 11ème valeurs → (14 + 14) ÷ 2 = 14

Q₁ : médiane des 10 premières valeurs (5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14) → moyenne des 5ème et 6ème → (10 + 10) ÷ 2 = 10

Q₃ : médiane des 10 dernières valeurs (14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 18 ; 19 ; 19 ; 19) → moyenne des 5ème et 6ème → (17 + 18) ÷ 2 = 17,5

Vérification : Q₁ ≤ M ≤ Q₃ → 10 ≤ 14 ≤ 17,5 ✓

📖 Définition — Écart interquartile

L'écart interquartile (noté EI) est défini par :

EI = Q₃ − Q₁

L'écart interquartile mesure la dispersion des 50 % des valeurs centrales. Plus EI est petit, plus les données sont regroupées autour de la médiane.

Pour nos 20 notes : EI = Q₃ − Q₁ = 17,5 − 10 = 7,5 points

Résumé en 5 nombres :

Min

5

valeur minimale

Q₁

10

1er quartile

Médiane

14

Q₂

Q₃

17,5

3e quartile

Max

19

valeur maximale

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Diagramme en boîte

📖 Définition — Diagramme en boîte (box-plot)

Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) est une représentation graphique basée sur les 5 nombres : min, Q₁, médiane, Q₃, max.

La boîte s'étend de Q₁ à Q₃ → représente les 50 % centraux
Le trait vertical dans la boîte → médiane
Les moustaches relient le min à Q₁ et Q₃ au max

🗳️ Anatomie du diagramme en boîte

Moustache gauche (min → Q₁)

Q₁ → Médiane (25 %)

Médiane → Q₃ (25 %)

Moustache droite (Q₃ → max)

Médiane

🔧 Méthode — Construire un diagramme en boîte

1

Tracer un axe gradué adapté à l'étendue de la série (ici de 0 à 20).

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Placer les 5 points clés : min (5), Q₁ (9,5), M (12,5), Q₃ (15,5), max (19).

3

Tracer la boîte : rectangle de Q₁ à Q₃, avec un trait vertical à la médiane.

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Tracer les moustaches : segments horizontaux de min à Q₁ et de Q₃ à max.

🗳️ Diagramme en boîte — Notes de la classe de 2nde A

📌 Lire un diagramme en boîte

Écart interquartile (boîte)

EI = 15,5 − 9,5 = 6

50 % des élèves ont une note comprise entre 9,5 et 15,5.

Étendue (moustaches + boîte)

19 − 5 = 14

L'étendue totale est de 14 points — la série est assez dispersée.

Asymétrie : Si la médiane est proche du centre de la boîte → série symétrique. Si elle est déplacée vers la gauche ou la droite → série asymétrique. Ici, M = 14 est décentrée vers Q₃ (boîte plus large à gauche de la médiane), indiquant une légère asymétrie : les notes sont davantage concentrées dans les valeurs hautes.

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Comparer deux séries

✏️ Situation — Deux classes comparées

Même devoir passé dans deux classes de 2nde. On veut comparer leurs résultats.

🟦 Classe A (n = 20)

Min5

Q₁10

Médiane14

Q₃17,5

Max19

EI7,5

🟧 Classe B (n = 20)

Min3

Q₁11

Médiane13

Q₃14,5

Max20

EI3,5

🗳️ Diagrammes en boîte superposés — Classe A vs Classe B

📌 Analyse comparée

Indicateur	🟦 Classe A	🟧 Classe B	Interprétation
Médiane	14	13	La classe B a une médiane légèrement plus haute
Écart interquartile	7,5	3,5	La classe B est plus homogène (EI plus petit)
Étendue	14	17	La classe B a un écart min/max plus grand
Conclusion	La classe B a des résultats légèrement meilleurs (médiane plus haute) et plus réguliers (EI plus faible), mais avec plus de valeurs extrêmes (étendue plus grande). La classe A est plus dispersée dans son ensemble.

💡 À retenir pour la comparaison

On compare les médianes pour comparer le niveau central des deux séries.
On compare les écarts interquartiles pour comparer l'homogénéité.
Un EI faible → série homogène ; un EI élevé → série hétérogène.
L'étendue seule peut être trompeuse (une seule valeur extrême peut l'augmenter fortement).

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Calculateur interactif

🎮 Calcule tes quartiles — entre une série de valeurs

Saisis des nombres séparés par des espaces ou des virgules. Le diagramme en boîte se met à jour automatiquement. Clique sur un chip pour le supprimer.