Probabilités

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Vocabulaire des probabilités

📖 Définition 1 — Expérience aléatoire et univers Ω

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.

L'univers Ω est l'ensemble de tous les résultats possibles (issues).

Dé 6 faces : Ω = {1,2,3,4,5,6} Pièce : Ω = {Pile, Face}

📖 Définitions 2 & 3 — Événements

Un événement est un sous-ensemble de Ω.

Événement élémentaire : une seule issue — ex : {3}
Événement certain : Ω (se réalise toujours)
Événement impossible : ∅ (ne se réalise jamais)

📖 Définition 4 — Opérations sur les événements

Réunion

A ∪ B

"A ou B" — au moins l'un se réalise

Intersection

A ∩ B

"A et B" — les deux simultanément

Contraire

Ā (ou Aᶜ)

A ne se réalise pas

A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅ (ne peuvent pas se réaliser ensemble).

✏️ Exemple 3 — Dé, A=pairs, B=supérieur à 4, C=impairs

A={2,4,6}, B={5,6}, C={1,3,5}
A∪B = {2,4,5,6} · A∩B = {6} · Ā = {1,3,5} = C
A et C incompatibles car A∩C = ∅

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📖 Définition 7 — Équiprobabilité

P(A) = Card(A)Card(Ω) = nb d'issues favorablesnb total d'issues

Valable uniquement si toutes les issues ont la même probabilité.

📌 Propriété 1 — Formules essentielles

P(Ā) = 1 − P(A) P(∅) = 0 · P(Ω) = 1

📌 Propriété 2 — Formule générale de la réunion

Pour tous événements A et B (compatibles ou non) :

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

On soustrait P(A∩B) pour ne pas compter deux fois les issues appartenant à la fois à A et à B.

📌 Propriété 3 — Cas des événements incompatibles

Si A et B sont incompatibles (A∩B = ∅), alors P(A∩B) = 0, donc :

P(A∪B) = P(A) + P(B)

✏️ Exemple 5 — Formule générale : jeu de 52 cartes

A : tirer un cœur → P(A) = 1352 = 14
B : tirer un as → P(B) = 452 = 113
A∩B : as de cœur → P(A∩B) = 152
A et B sont compatibles (l'as de cœur est dans les deux)
P(A∪B) = 1352 + 452 − 152 = 1652 = 413

✏️ Exemple 6 — Événements incompatibles : dé à 6 faces

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} · A : obtenir un nombre pair = {2, 4, 6} · B : obtenir un nombre impair = {1, 3, 5}
A∩B = ∅ → A et B sont incompatibles
P(A) = 36 = 12 · P(B) = 36 = 12
P(A∪B) = P(A) + P(B) = 12 + 12 = 1 = P(Ω) ✓
(logique : tout nombre est pair ou impair)

🎮 Simulateur — lancer de dé (fréquences → probabilités)

Total : 0 lancers

1

0%

2

0%

3

0%

4

0%

5

0%

6

0%

Les fréquences convergent vers 1/6 ≈ 16,7% — loi des grands nombres

🎮 Calculateur — P(Ā), P(A∪B), équiprobabilité

Résultat

3

Variables aléatoires

📖 Définition 8 — Variable aléatoire X

Une variable aléatoire X associe à chaque issue un nombre réel. Sa loi est donnée par les probabilités P(X=xᵢ) pour chaque valeur xᵢ, avec Σpᵢ = 1.

✏️ Exemple 7 — 3 lancers de pièce, X = nombre de Pile

xᵢ	0	1	2	3	Total
P(X=xᵢ)	1/8	3/8	3/8	1/8	1

📌 Définitions 10 & 11 — Espérance, variance, écart-type

Espérance

E(X) = Σ xᵢ × pᵢ

valeur moyenne théorique

Variance (König)

V(X) = E(X²) − [E(X)]²

mesure la dispersion

Écart-type

σ(X) = √V(X)

même unité que X

E(X) = 0×(1/8)+1×(3/8)+2×(3/8)+3×(1/8) = 12/8 = 1,5
E(X²) = 0+3/8+12/8+9/8 = 3 → V(X) = 3−1,5² = 0,75 → σ ≈ 0,866

🎮 Calculateur de loi de probabilité — E(X), V(X), σ(X)

Entre les valeurs x₁, x₂, x₃, x₄ et leurs probabilités p₁, p₂, p₃, p₄ (la somme des p doit valoir 1).

x₁

p₁

x₂

p₂

x₃

p₃

x₄

p₄

Espérance, Variance, Écart-type

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Probabilités conditionnelles & indépendance

📖 Définition 12 — Probabilité conditionnelle P(A|B)

P_B(A) = P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

C'est la probabilité que A se réalise sachant que B est réalisé.

📌 Propriété 2 — Probabilités composées

P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A)

📖 Définition 13 — Indépendance

A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Équivalent : P(A|B) = P(A) — la réalisation de B n'influence pas P(A).

🎮 Calculateur — probabilités conditionnelles et indépendance

Résultat

5

Arbres — probabilités totales & Bayes

🌳 Arbre — urne 3 rouges + 2 vertes, 2 tirages sans remise

📌 Propriété 3 — Formule des probabilités totales

Si B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de Ω :

P(A) = Σ P(Bᵢ) × P_Bᵢ(A)

📌 Propriété 4 — Formule de Bayes

P_A(B) = P(B) × P_B(A)P(A)

Permet de "inverser" la conditionnelle : si l'on connaît P_B(A), retrouver P_A(B).

🎮 Calculateur — Probabilités totales & Bayes (2 branches)

B₁ et B₂ forment une partition. Entre P(B₁), P(A|B₁) et P(A|B₂).

P(B₁)

P(A|B₁)

P(A|B₂)

P(A) et P(B₁|A) — Bayes

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Applications

Exercice 1 — 2 dés, somme = 7

36 issues équiprobables
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6 issues
P = 636 = 16 ≈ 16,7%

Exercice 2 — Urne 5B+3N, 2 sans remise

P(BB) = 58×47 = 2056 = 514
P(diff) = 58×37+38×57 = 3056 = 1528

Exercice 3 — Test médical (maladie 0,5%, sensibilité 98%, faux+ 2%)

P(T+) = 0,005×0,98 + 0,995×0,02 = 0,0049+0,0199 = 2,48%
P(M|T+) = 0,00490,0248 ≈ 19,8% — seulement 19,8% sont vraiment malades !

📋 Formules essentielles

Contraire	P(Ā) = 1 − P(A)
Réunion	P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
Équiprobabilité	Card(A)Card(Ω)
Espérance	E(X) = Σ xᵢ·pᵢ
Variance	V(X) = E(X²) − [E(X)]²
Conditionnelle	P(A\|B) = P(A∩B)P(B)
Composée	P(A∩B) = P(B)·P(A\|B)
Indépendance	P(A∩B) = P(A)·P(B)
Prob. totales	P(A) = Σ P(Bᵢ)·P(A\|Bᵢ)
Bayes	P(B\|A) = P(B)·P(A\|B)P(A)