Intervalles & Valeur absolue

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Les intervalles

📖 Définition

Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes.

Fermé

[a ; b]

Bornes incluses

Ouvert

]a ; b[

Bornes exclues

Semi-ouvert

[a ; b[ ou ]a ; b]

Une borne incluse

📊 Tableau des notations

Notation	Inégalité	Type
[a ; b]	a ≤ x ≤ b
]a ; b[	a < x < b
[a ; b[	a ≤ x < b
]a ; b]	a < x ≤ b
[a ; +∞[	x ≥ a
]−∞ ; b]	x ≤ b

⚠️ À retenir — Crochets et infini

📌

Crochet fermé [ ou ] → borne incluse (point plein ●)

📌

Crochet ouvert ] ou [ → borne exclue (point vide ○)

∞

On utilise toujours un crochet ouvert avec +∞ ou −∞ (l'infini n'est pas un réel)

✏️ Appartenance à I = [−2 ; 5[

✅ 3 ∈ I — car −2 ≤ 3 < 5

✅ −2 ∈ I — borne gauche incluse (crochet fermé)

❌ 5 ∉ I — borne droite exclue (crochet ouvert)

❌ 7 ∉ I — car 7 > 5

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Opérations sur les intervalles

📖 Intersection et réunion

∩ Intersection

I ∩ J : nombres qui appartiennent à la fois à I et à J

∪ Réunion

I ∪ J : nombres qui appartiennent à I ou à J (ou aux deux)

📐 Visualisation — I = [−2 ; 5] et J = [3 ; 8]

✏️ Exemples d'opérations

I = [−2;5] et J = [3;8] — Intersection

I ∩ J = [3 ; 5]

I = [−2;5] et J = [3;8] — Réunion

I ∪ J = [−2 ; 8]

I = [−3;2] et J = [5;9] — Disjoints

I ∩ J = ∅ (aucun élément commun)

I = [−3;2[ et J = ]4;9] — Réunion non connexe

I ∪ J = [−3;2[ ∪ ]4;9] (ne peut pas être simplifié)

3

Valeur absolue

📖 Définition

La valeur absolue de x, notée |x|, est sa distance à zéro sur la droite des réels.

|x| = x si x \geq 0 |x| = -x si x < 0

✏️ Exemples

|5| = 5 |−3| = 3 |0| = 0 |−7,2| = 7,2 |−2/3| = 2/3

📌 Propriétés

➕

|x| ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ | |x| = 0 ⟺ x = 0

±

|−x| = |x| | |x × y| = |x| × |y| | |x/y| = |x|/|y| (y ≠ 0)

²

|x|² = x² | |x²| = x²

△

Inégalité triangulaire : |a + b| ≤ |a| + |b|

📐 Interprétation géométrique

|x − a| représente la distance entre x et a sur la droite des réels.

|x − 3| = distance entre x et 3

|x + 2| = |x − (−2)| = distance entre x et −2

|x| = distance entre x et 0

4

Équations avec valeur absolue

📌 Résoudre |x| = a

a < 0

Aucune solution

|x| ≥ 0 toujours
S = ∅

a = 0

x = 0

S = {0}

a > 0

x = a ou x = −a

S = {−a ; a}

🔧 Méthode — |ax + b| = c

①

Vérifier que c ≥ 0 (sinon, aucune solution)

②

Résoudre ax + b = c

③

Résoudre ax + b = −c

④

S = réunion des deux solutions

✏️ Exemples — Équations |ax + b| = c

|2x − 3| = 7

2x−3 = 7 → x = 5 | 2x−3 = −7 → x = −2
S = {−2 ; 5}

|x − 4| = 2

x−4 = 2 → x = 6 | x−4 = −2 → x = 2
S = {2 ; 6}

|5x + 1| = −3

Impossible car |5x+1| ≥ 0 — S = ∅

🔧 Méthode — |A| = |B|

|A| = |B| ⟺ A = B ou A = −B

✏️ Résoudre |2x − 1| = |x + 3|

1

Cas 1 : 2x − 1 = x + 3 → x = 4

2

Cas 2 : 2x − 1 = −(x + 3) → 3x = −2 → x = −2/3

3

S = {−2/3 ; 4}

5

Inéquations avec valeur absolue

|x| < a (avec a > 0)

−a < x < a

x ∈ ]−a ; a[

Distance de x à 0 < a
x est entre −a et a

|x| > a (avec a > 0)

x < −a ou x > a

x ∈ ]−∞ ; −a[ ∪ ]a ; +∞[

Distance de x à 0 > a
x est hors de [−a ; a]

📐 Visualisation — |x| < 3 vs |x| > 3

🔧 Méthode — |ax + b| < c (c > 0)

|ax + b| < c ⟺ -c < ax + b < c

Résoudre la double inégalité → intersection

✏️ Résoudre |2x − 3| < 5

1

Double inégalité : −5 < 2x − 3 < 5

2

Ajouter 3 : −2 < 2x < 8

3

Diviser par 2 : S = ]−1 ; 4[

🔧 Méthode — |ax + b| > c (c > 0)

|ax + b| > c ⟺ ax + b < -c ou ax + b > c

Résoudre deux inéquations séparées → réunion

✏️ Résoudre |2x − 3| > 5

1

Branche gauche : 2x − 3 < −5 → 2x < −2 → x < −1

2

Branche droite : 2x − 3 > 5 → 2x > 8 → x > 4

3

S = ]−∞ ; −1[ ∪ ]4 ; +∞[

📊 Cas selon le signe de a dans |x| </> a

Inéquation	Solution
\|x\| < a, a > 0	x ∈ ]−a ; a[
\|x\| ≤ a, a > 0	x ∈ [−a ; a]
\|x\| < a, a ≤ 0	S = ∅
\|x\| > a, a > 0	x ∈ ]−∞ ; −a[ ∪ ]a ; +∞[
\|x\| ≥ a, a > 0	x ∈ ]−∞ ; −a] ∪ [a ; +∞[
\|x\| > a, a < 0	S = ℝ (tout réel)
\|x\| > 0	S = ℝ* (tous sauf 0)

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Simulateur, applications & récapitulatif

🎮 Résoudre une équation ou inéquation avec |…|

a =

b =

c =

📏Exercice 1 — Distance à 5 égale à 3

|x − 5| = 3 → x − 5 = 3 ou x − 5 = −3 → S = {2 ; 8}

Les nombres 2 et 8 sont à une distance de 3 de 5.

📏Exercice 2 — Distance à −2 inférieure ou égale à 4

|x + 2| ≤ 4 → −4 ≤ x + 2 ≤ 4 → −6 ≤ x ≤ 2 → S = [−6 ; 2]

🔢Exercice 3 — Résoudre |2x + 1| < 7

1

−7 < 2x + 1 < 7

2

−8 < 2x < 6 → −4 < x < 3

3

S = ]−4 ; 3[

📊 Récapitulatif général — Méthodes

Type	Méthode
\|A\| = c (c > 0)	A = c ou A = −c
\|A\| = 0	A = 0
\|A\| = c (c < 0)	∅ (impossible)
\|A\| = \|B\|	A = B ou A = −B
\|A\| < c (c > 0)	−c < A < c (double inégalité)
\|A\| > c (c > 0)	A < −c ou A > c (réunion)