📚 Seconde — Chapitre
Fonctions — Niveau Seconde
Définitions, variations, fonctions affines, fonctions du second degré, discriminant et applications
📍 Image & antécédent
📈 Variations
📏 Fonctions affines
🪝 Fonctions du 2ⁿᵈ degré
📖 Définition — Fonction
Une fonction f est un procédé qui à chaque nombre x associe au plus un nombre y.
f : x ↦ f(x) ou y = f(x)
Antécédent de y
x tel que f(x) = y
✏️ Exemple — f(x) = 2x + 3
Image de 5 :
f(5) = 2 × 5 + 3 = 10 + 3 = 13
→ L'image de 5 par f est 13
Antécédent de 11 :
2x + 3 = 11 → 2x = 8 → x = 4
→ Un antécédent de 11 par f est 4
📖 Ensemble de définition Df
L'ensemble de définition est l'ensemble des x pour lesquels f(x) existe.
Cas d'exclusion :
➗
Division par zéro — le dénominateur ne peut pas être nul
√
Racine carrée négative — l'expression sous la racine doit être ≥ 0
✏️ Ensembles de définition — Exemples
f(x) = 3x − 5
Aucune restriction
Df = ℝ
f(x) = 2x+1x−3
x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3
Df = ℝ \ {3}
f(x) = √(2x − 6)
2x − 6 ≥ 0 → x ≥ 3
Df = [3 ; +∞[
f(x) = 1x−2 + √(x+1)
x ≠ 2 et x ≥ −1
Df = [−1;2[∪]2;+∞[
🎮 Calculer une image et un antécédent
📖 Courbe représentative
La courbe représentative Cf est l'ensemble des points M(x ; f(x)) pour x ∈ Df.
Un point M(a ; b) appartient à Cf si et seulement si b = f(a).
📖 Croissance et décroissance
↗ Croissante sur I
x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≤ f(x₂)
Quand x augmente, f(x) augmente.
↘ Décroissante sur I
x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≥ f(x₂)
Quand x augmente, f(x) diminue.
📖 Tableau de variations
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction : intervalles de croissance/décroissance, extremums et valeurs remarquables.
✏️ Exemple — f définie sur [−2 ; 5]
• f est décroissante sur [−2 ; 1]
• f est croissante sur [1 ; 5]
• Minimum de f : −1 en x = 1
• f(−2) = 3, f(5) = 4
📖 Extremums
⬆️ Maximum M
∃ a ∈ I tel que pour tout x ∈ I : f(x) ≤ M = f(a)
⬇️ Minimum m
∃ a ∈ I tel que pour tout x ∈ I : f(x) ≥ m = f(a)
📖 Définition — Fonction affine
Une fonction affine est de la forme :
f(x) = ax + b avec a, b ∈ ℝ
a
Coefficient directeur
(pente)
La représentation graphique est une droite. Df = ℝ.
Cas particuliers : si a = 0 → constante | si b = 0 → linéaire (passe par l'origine)
📐 Représentations graphiques — fonctions affines
📌 Variations des fonctions affines
a > 0
↗ Strictement croissante
a < 0
↘ Strictement décroissante
📌 Signe d'une fonction affine
Pour f(x) = ax + b avec a ≠ 0, la racine est x₀ = −ba.
✏️ Signe de f(x) = 2x − 6
a = 2 > 0 | Racine : 2x − 6 = 0 → x = 3
📖 Définition — Trinôme du second degré
Une fonction polynôme du second degré est de la forme :
f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0
La représentation graphique est une parabole. Df = ℝ.
a > 0
∪
Parabole tournée vers le haut
Sommet = minimum
a < 0
∩
Parabole tournée vers le bas
Sommet = maximum
📖 Forme canonique
La forme canonique est :
f(x) = a(x − α)² + β
Le point S(α ; β) est le sommet de la parabole.
α (abscisse du sommet)
α = −b2a
β (ordonnée du sommet)
β = f(α)
✏️ Forme canonique — f(x) = 2x² − 8x + 3
1
Identifier : a = 2, b = −8, c = 3
2
α = −(−8) / (2×2) = 8/4 = 2
3
β = f(2) = 2×4 − 8×2 + 3 = 8 − 16 + 3 = −5
4
Forme canonique : f(x) = 2(x − 2)² − 5 Sommet S(2 ; −5)
📌 Variations — f(x) = a(x − α)² + β
a > 0 : minimum en α
a < 0 : maximum en α
📌 Discriminant — Racines de f(x) = ax² + bx + c
Δ = b² − 4ac
Δ > 0
2 racines
x₁ = −b − √Δ2a
x₂ = −b + √Δ2a
Δ = 0
1 racine double
x₀ = −b2a
Δ < 0
Aucune racine
La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
🎮 Calculer sommet, discriminant et racines
📌 Signe d'une fonction du second degré
| Cas | a > 0 | a < 0 |
|---|
| Δ > 0 (racines x₁ < x₂) |
+ hors ]x₁ ; x₂[ | − dans ]x₁ ; x₂[ |
− hors ]x₁ ; x₂[ | + dans ]x₁ ; x₂[ |
| Δ = 0 (racine x₀) |
+ sauf en x₀ (où f = 0) |
− sauf en x₀ (où f = 0) |
| Δ < 0 |
Toujours + sur ℝ |
Toujours − sur ℝ |
✏️ Signe de f(x) = x² − 5x + 6
Δ = 25 − 24 = 1 > 0 → x₁ = 2, x₂ = 3 | a = 1 > 0
f(x) > 0 sur ]−∞ ; 2[∪]3 ; +∞[ | f(x) < 0 sur ]2 ; 3[
🔢
Exercice 1 — Résoudre x² − 3x − 4 ≤ 0
1
Calculer Δ : Δ = 9 + 16 = 25 > 0
2
Racines : x₁ = 3−52 = −1 et x₂ = 3+52 = 4
3
Tableau de signes (
a = 1 > 0) :
4
f(x) ≤ 0 sur S = [−1 ; 4]
🌿
Exercice 2 — Optimisation d'un enclos
Enclos rectangulaire le long d'un mur. 40 m de grillage pour les 3 autres côtés. Quelle largeur maximise l'aire ?
1
Soit x la largeur. Longueur = 40 − 2x.
2
Aire : A(x) = x(40−2x) = −2x² + 40x
3
Forme canonique : a = −2 < 0 → maximum en α = −402×(−2) = 10
4
A(10) = 10×(40−20) = 10×20 = 200 m²
Largeur optimale : 10 m, longueur : 20 m
📊 Récapitulatif — Fonctions affines f(x) = ax + b
| Paramètre | a > 0 | a < 0 | a = 0 |
|---|
| Variations | ↗ Croissante | ↘ Décroissante | = Constante |
| Racine | x₀ = −ba | Aucune (ou ℝ si b=0) |
| Signe | − puis + | + puis − | Constant b |
📊 Formules essentielles — Second degré
Sommet de la parabole
α = −b/(2a) ; β = f(α)
Forme canonique
f(x) = a(x − α)² + β
Discriminant
Δ = b² − 4ac
Racines (si Δ ≥ 0)
x = (−b ± √Δ) / 2a
Forme factorisée (si Δ > 0)
f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)