1
Principe fondamental
📌 Propriété 1 — Règle du produit nul
Un produit est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.
A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0
Généralisation : A × B × C = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0 ou C = 0
✏️ Méthode 1 — Résoudre A × B = 0
- Identifier les deux facteurs A et B.
- Résoudre séparément A = 0 et B = 0.
- L'ensemble des solutions est la réunion des deux ensembles.
✏️ Exemple 2 — (x − 2)(x + 5) = 0
Un produit est nul ⟺ l'un des facteurs est nul.
x − 2 = 0 ou x + 5 = 0
x = 2 ou x = −5
S = {−5 ; 2}
x − 2 = 0 ou x + 5 = 0
x = 2 ou x = −5
S = {−5 ; 2}
2
Équations simples
✏️ Exemple 3 — Deux facteurs
1) (x − 3)(x + 1) = 0
x − 3 = 0 ou x + 1 = 0
x = 3 ou x = −1
S = {−1 ; 3}
x = 3 ou x = −1
S = {−1 ; 3}
2) (2x + 6)(x − 4) = 0
2x + 6 = 0 ou x − 4 = 0
x = −3 ou x = 4
S = {−3 ; 4}
x = −3 ou x = 4
S = {−3 ; 4}
3) x(x + 7) = 0
x = 0 ou x + 7 = 0
x = 0 ou x = −7
S = {−7 ; 0}
x = 0 ou x = −7
S = {−7 ; 0}
4) (3x − 9)(5x + 15) = 0
3x = 9 ou 5x = −15
x = 3 ou x = −3
S = {−3 ; 3}
x = 3 ou x = −3
S = {−3 ; 3}
✏️ Exemple 4 — Trois facteurs ou facteur au carré
1) (x − 1)(x + 2)(x − 5) = 0
x = 1 ou x = −2 ou x = 5
S = {−2 ; 1 ; 5}
S = {−2 ; 1 ; 5}
2) x(2x + 4)(x − 3) = 0
x = 0 ou x = −2 ou x = 3
S = {−2 ; 0 ; 3}
S = {−2 ; 0 ; 3}
3) (x + 1)²(x − 4) = 0
x + 1 = 0 ou x − 4 = 0 → x = −1 ou x = 4
Remarque : (x+1)² est au carré mais donne quand même une seule valeur x = −1.
S = {−1 ; 4}
Remarque : (x+1)² est au carré mais donne quand même une seule valeur x = −1.
S = {−1 ; 4}
🎮 Résolveur — équation produit nul (ax + b)(cx + d) = 0
(
x +
) × (
x +
) = 0
Résultat
3
Factorisation préalable
✏️ Méthode 2 — Mettre en facteur avant d'appliquer le produit nul
- Tout ramener d'un côté (= 0 de l'autre).
- Factoriser l'expression obtenue.
- Appliquer la règle du produit nul.
✏️ Exemple 5 — Mise en facteur
1) x² − 5x = 0
x(x − 5) = 0
x = 0 ou x = 5
S = {0 ; 5}
x = 0 ou x = 5
S = {0 ; 5}
2) 3x² + 6x = 0
3x(x + 2) = 0
x = 0 ou x = −2
S = {−2 ; 0}
x = 0 ou x = −2
S = {−2 ; 0}
3) (x + 1)(x − 2) + (x + 1)(2x + 3) = 0 — facteur commun (x + 1)
(x + 1)[(x − 2) + (2x + 3)] = 0
(x + 1)(3x + 1) = 0
x = −1 ou 3x + 1 = 0 → x = −13
S = {−1 ; −13}
(x + 1)(3x + 1) = 0
x = −1 ou 3x + 1 = 0 → x = −13
S = {−1 ; −13}
📌 Propriété 2 — Identités remarquables
Différence de carrés
a² − b² = (a − b)(a + b)
Carré d'une somme
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Carré d'une différence
(a − b)² = a² − 2ab + b²
✏️ Exemple 6 — Identités remarquables
1) x² − 16 = 0
(x − 4)(x + 4) = 0
x = 4 ou x = −4
S = {−4 ; 4}
x = 4 ou x = −4
S = {−4 ; 4}
2) 4x² − 25 = 0
(2x − 5)(2x + 5) = 0
x = 52 ou x = −52
S = {−52 ; 52}
x = 52 ou x = −52
S = {−52 ; 52}
3) x² + 6x + 9 = 0
(x + 3)² = 0
x = −3 (solution double)
S = {−3}
x = −3 (solution double)
S = {−3}
4) 9x² − 12x + 4 = 0
(3x − 2)² = 0
x = 23 (solution double)
S = {23}
x = 23 (solution double)
S = {23}
4
Équations du second degré
📖 Définition 1
Une équation du second degré est de la forme ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
📌 Propriété 3 — Discriminant Δ
Δ = b² − 4ac
Δ > 0
2 solutions
x₁ = −b − √Δ2a
x₂ = −b + √Δ2a
x₂ = −b + √Δ2a
Δ = 0
1 solution double
x₀ = −b2a
Δ < 0
Aucune solution
S = ∅
✏️ Exemple 7 — Résolution par discriminant
1) x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6
Δ = 25 − 24 = 1 > 0
x₁ = 5−12 = 2 ; x₂ = 5+12 = 3
S = {2 ; 3}
Δ = 25 − 24 = 1 > 0
x₁ = 5−12 = 2 ; x₂ = 5+12 = 3
S = {2 ; 3}
2) 2x² − 8x + 8 = 0
a=2, b=−8, c=8
Δ = 64 − 64 = 0
x₀ = 84 = 2
S = {2}
Δ = 64 − 64 = 0
x₀ = 84 = 2
S = {2}
3) x² + x + 1 = 0
a=1, b=1, c=1
Δ = 1 − 4 = −3 < 0
S = ∅ (pas de solution réelle)
Δ = 1 − 4 = −3 < 0
S = ∅ (pas de solution réelle)
4) −3x² + 6x + 9 = 0
Δ = 36 + 108 = 144 → √Δ = 12
x₁ = −6−12−6 = 3
x₂ = −6+12−6 = −1
S = {−1 ; 3}
x₁ = −6−12−6 = 3
x₂ = −6+12−6 = −1
S = {−1 ; 3}
📌 Propriété 4 — Factorisation d'un trinôme (si Δ > 0)
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
Exemple : x² − 5x + 6 = 0 → x₁ = 2, x₂ = 3
Factorisation : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
Vérif : (x−2)(x−3) = x²−5x+6 ✓
🎮 Résolveur du second degré — ax² + bx + c = 0
x² +
x +
= 0
Résultat
5
Fractions et racines carrées
✏️ Méthode 4 — Équation A/B = 0
Une fraction est nulle ⟺ son numérateur est nul ET son dénominateur est non nul.
- Résoudre A = 0.
- Vérifier que les solutions ne annulent pas B.
- Exclure les valeurs qui annulent B.
✏️ Exemple 9 — Fractions
1) x − 3x + 2 = 0
Numérateur : x − 3 = 0 → x = 3
Dénominateur pour x=3 : 3+2=5 ≠ 0 ✓
S = {3}
Dénominateur pour x=3 : 3+2=5 ≠ 0 ✓
S = {3}
3) x² − 4x − 2 = 0
x² − 4 = 0 → x = 2 ou x = −2
x=2 : dénominateur = 0 ✗ (interdit !)
x=−2 : dénominateur = −4 ≠ 0 ✓
S = {−2}
x=2 : dénominateur = 0 ✗ (interdit !)
x=−2 : dénominateur = −4 ≠ 0 ✓
S = {−2}
✏️ Méthode 5 — Équations avec √A
- Vérifier les conditions d'existence (expression sous la racine ≥ 0).
- Isoler la racine, puis élever au carré les deux membres.
- Résoudre l'équation obtenue.
- Vérifier toutes les solutions dans l'équation initiale.
✏️ Exemple 10 — √(2x + 1) = x − 1
Condition : x ≥ 1
En élevant au carré : 2x + 1 = (x − 1)² = x² − 2x + 1
x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0
x = 0 (vérifie x ≥ 1 ? Non ✗) x = 4 (vérifie ? √9 = 3 = 4−1 ✓)
S = {4}
En élevant au carré : 2x + 1 = (x − 1)² = x² − 2x + 1
x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0
x = 0 (vérifie x ≥ 1 ? Non ✗) x = 4 (vérifie ? √9 = 3 = 4−1 ✓)
S = {4}
6
Applications
Exercice 1 — Rectangle (aire = 24 cm²)
Longueur = x+5, largeur = x−2
(x+5)(x−2) = 24
x²+3x−34 = 0
Δ = 9+136 = 145
x₂ = −3+√1452 ≈ 4,5 cm
(x+5)(x−2) = 24
x²+3x−34 = 0
Δ = 9+136 = 145
x₂ = −3+√1452 ≈ 4,5 cm
Exercice 2 — Âge de Paul
x(x + 4) = 60
x² + 4x − 60 = 0
Δ = 16+240 = 256 = 16²
x₂ = −4+162 = 6 ans
x² + 4x − 60 = 0
Δ = 16+240 = 256 = 16²
x₂ = −4+162 = 6 ans
Exercice 3 — Trajectoire : h(t) = −5t² + 20t + 1, quand h = 16 m ?
−5t²+20t+1 = 16 → −5t²+20t−15 = 0 → t²−4t+3 = 0
Δ = 16−12 = 4 → t₁ = 1 s (en montant), t₂ = 3 s (en descendant)
La balle est à 16 m à t = 1 s et t = 3 s.
Δ = 16−12 = 4 → t₁ = 1 s (en montant), t₂ = 3 s (en descendant)
La balle est à 16 m à t = 1 s et t = 3 s.
🎮 Trajectoire h(t) = −5t² + 20t + 1 — visualisation
Ligne rouge : h = 16 m — les deux points d'intersection sont t = 1 s et t = 3 s
7
Tableaux de signes
✏️ Méthode 6 — Signe de (x − a)(x − b)
- Trouver les racines (valeurs qui annulent le produit).
- Faire un tableau de signes.
- Appliquer la règle des signes : (−)(−) = + ; (−)(+) = − ; etc.
✏️ Exemple 11 — Signe de (x − 2)(x + 3)
Racines : x = 2 et x = −3
| x | −∞ | −3 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x − 2 | − | − | − | − | 0 | + | + |
| x + 3 | − | − | 0 | + | + | + | + |
| (x−2)(x+3) | + | + | 0 | − | 0 | + | + |
(x − 2)(x + 3) > 0 pour x ∈ ]−∞ ; −3[ ∪ ]2 ; +∞[
(x − 2)(x + 3) < 0 pour x ∈ ]−3 ; 2[
🎮 Tableau de signes — (x − a)(x − b)
📋 Résumé des méthodes
| Type d'équation | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| AB = 0 | A = 0 ou B = 0 | (x − 1)(x + 2) = 0 |
| x² − a² = 0 | (x − a)(x + a) = 0 | x² − 9 = 0 |
| ax² + bx + c = 0 | Discriminant Δ | x² − 5x + 6 = 0 |
| AB = 0 | A = 0 et B ≠ 0 | x−3x+1 = 0 |
📋 Formulaire — Second degré ax² + bx + c = 0
Δ = b² − 4ac
Δ > 0 : x₁ = −b − √Δ2a x₂ = −b + √Δ2a
Δ = 0 : x₀ = −b2a
Δ < 0 : S = ∅