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Triangle rectangle
📖 Définitions — cos, sin, tan dans un triangle rectangle
cos(α) = adjacenthypoténuse = ABAC
sin(α) = opposéhypoténuse = BCAC
tan(α) = opposéadjacent = BCAB
sin(α) = opposéhypoténuse = BCAC
tan(α) = opposéadjacent = BCAB
📌 Relations fondamentales
Relation de Pythagore généralisée
cos²(α) + sin²(α) = 1
Tangente
tan(α) = sin(α) / cos(α)
📊 Valeurs remarquables à connaître
| Angle | 0° (0) | 30° (π6) | 45° (π4) | 60° (π3) | 90° (π2) | 180° (π) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| cos | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 | −1 |
| sin | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 | 0 |
| tan | 0 | √33 | 1 | √3 | ∄ | 0 |
🧠 Moyen mnémotechnique : pour sin de 0°, 30°, 45°, 60°, 90° : √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 | cos : ordre inverse
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Radian & cercle trigonométrique
📖 Le radian
Le radian est une unité d'angle. Un angle mesure 1 radian quand l'arc du cercle de rayon 1 qu'il sous-tend mesure 1.
180° = π rad 1° = π180 rad 1 rad ≈ 57,3°
✏️ Conversions degrés ↔ radians
30° = π6
45° = π4
60° = π3
90° = π2
120° = 2π3
150° = 5π6
180° = π
270° = 3π2
360° = 2π
⭕ Cercle trigonométrique interactif
Déplacez la souris / touchez le cercle pour explorer cos(x) et sin(x)
⚠️ Périodicité — Enroulement
Un tour complet = 2π radians. Les points correspondant à x et x + 2kπ sont confondus.
Les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2π. La tangente a la période π.
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Fonctions trigonométriques
📖 Définitions sur ℝ — Lecture sur le cercle
Pour tout réel x, soit M le point du cercle de coordonnées (a ; b) associé à x :
cos(x) = a (abscisse de M) sin(x) = b (ordonnée de M) tan(x) = sin(x)cos(x) si cos(x) ≠ 0
〜 Fonction cosinus — f(x) = cos(x)
Df = ℝ
Image [−1 ; 1]
Période 2π
Paire : cos(−x) = cos(x)
↘ sur [0;π] ↗ sur [π;2π]
〜 Fonction sinus — f(x) = sin(x)
Df = ℝ
Image [−1 ; 1]
Période 2π
Impaire : sin(−x) = −sin(x)
↗ [0;π2] ↘ [π2;3π2] ↗ [3π2;2π]
〜 Fonction tangente — f(x) = tan(x)
Df = ℝ \ {π2 + kπ}
Image ℝ
Période π
Impaire : tan(−x) = −tan(x)
↗ strictement sur chaque intervalle
Asymptotes : x = π2 + kπ
📈 Courbes de cos(x), sin(x) et tan(x) sur [0 ; 2π]
— cos(x)
— sin(x)
— tan(x)
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Angles associés & formules
📌 Tableau des angles associés
| Transformation | cos | sin |
|---|---|---|
| −x (opposé) | cos(x) | −sin(x) |
| π − x (supplémentaire) | −cos(x) | sin(x) |
| π2 − x (complémentaire) | sin(x) | cos(x) |
| x + π | −cos(x) | −sin(x) |
| x + π2 | −sin(x) | cos(x) |
📌 Formules d'addition
cos(a + b) =
cos(a)·cos(b) − sin(a)·sin(b)
cos(a − b) =
cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b)
sin(a + b) =
sin(a)·cos(b) + cos(a)·sin(b)
sin(a − b) =
sin(a)·cos(b) − cos(a)·sin(b)
📌 Formules de duplication
cos(2x) =
cos²(x) − sin²(x) = 2cos²(x) − 1 = 1 − 2sin²(x)
sin(2x) =
2·sin(x)·cos(x)
📖 Formules de linéarisation
cos²(x) = 1 + cos(2x)2
sin²(x) = 1 − cos(2x)2
✏️ Calcul de cos(5π12) par addition
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Décomposer : 5π12 = π4 + π6
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cos(5π12) = cos(π4)·cos(π6) − sin(π4)·sin(π6)
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= √22·√32 − √22·12 = √64 − √24
4
cos(5π12) = √6 − √24
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Équations trigonométriques
📌 cos(x) = a
Il existe un unique α ∈ [0 ; π] tel que cos(α) = a. Solutions :
x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ
📌 sin(x) = a
Il existe un unique α ∈ [−π2 ; π2] tel que sin(α) = a. Solutions :
x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ
✏️ Exemples — Résolutions sur [0 ; 2π]
cos(x) = 12
cos(π3) = 12 → x = π3 ou x = −π3 + 2π = 5π3
S = {π3 ; 5π3}
sin(x) = √22
sin(π4) = √22 → x = π4 ou x = π − π4 = 3π4
S = {π4 ; 3π4}
cos(x) = −1
cos(π) = −1 → solution unique : S = {π}
📌 Propriétés générales
cos(x) = cos(a)
x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ
sin(x) = sin(a)
x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ
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Simulateur & applications
🎮 Conversion degrés ↔ radians & valeurs trigo
📐Exercice 1 — Calculer sin et tan si cos(x) = 3/5
1
sin²(x) = 1 − cos²(x) = 1 − 9/25 = 16/25
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x ∈ [0 ; π/2] donc sin(x) > 0 → sin(x) = 4/5
3
tan(x) = (4/5)/(3/5) = 4/3
🔢Exercice 2 — Résoudre sin²(x) = 3/4 sur [0 ; 2π]
1
sin(x) = √3/2 ou sin(x) = −√3/2
2
Pour √3/2 : x = π/3 ou x = 2π/3
3
Pour −√3/2 : x = 4π/3 ou x = 5π/3
4
S = {π/3 ; 2π/3 ; 4π/3 ; 5π/3}
⚙️Exercice 3 — 2cos(x) − 1 = 0 sur [0 ; 2π]
1
cos(x) = 1/2
2
cos(π/3) = 1/2 → x = π/3 ou x = 5π/3
3
S = {π3 ; 5π3}
📊 Récapitulatif — Formules essentielles
| Formule | Expression |
|---|---|
| Relation fondamentale | cos²(x) + sin²(x) = 1 |
| Tangente | tan(x) = sin(x)cos(x) |
| Parité cos | cos(−x) = cos(x) (paire) |
| Parité sin, tan | sin(−x) = −sin(x), tan(−x) = −tan(x) (impaires) |
| Périodicité | cos(x+2π) = cos(x), sin(x+2π) = sin(x), tan(x+π) = tan(x) |
| cos(2x) | 2cos²(x) − 1 = 1 − 2sin²(x) = cos²(x) − sin²(x) |
| sin(2x) | 2·sin(x)·cos(x) |
| cos²(x) | 1 + cos(2x)2 |
| sin²(x) | 1 − cos(2x)2 |