Généralités sur les suites
Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ.
On note (uₙ) ou (uₙ)ₙ∈ℕ une suite, où uₙ représente le terme de rang n.
La suite (uₙ) est définie par une formule explicite si on peut calculer directement uₙ en fonction de n.
La suite est définie par récurrence si on donne le premier terme et une relation uₙ₊₁ = f(uₙ).
Suites arithmétiques
Une suite (uₙ) est arithmétique s'il existe un réel r (la raison) tel que pour tout n ∈ ℕ :
On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r.
Si (uₙ) est arithmétique de premier terme u₀ et de raison r :
Plus généralement : uₙ = uₚ + (n − p)·r
Pour une suite arithmétique de n + 1 termes (de rang 0 à n) :
= (nombre de termes) × (moyenne du premier et du dernier terme)
Cas particulier : 1 + 2 + … + n = n(n+1)2
🎮 Simulateur — Suite arithmétique
✏️ Exemple — u₀ = 7, r = −3 → calculer u₁₀ et u₅₀
✏️ Exemple — Somme S = 5 + 8 + 11 + … + 65
Suites géométriques
Une suite (uₙ) est géométrique s'il existe un réel q ≠ 0 (la raison) tel que pour tout n ∈ ℕ :
On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q.
Si (uₙ) est géométrique de premier terme u₀ ≠ 0 et de raison q ≠ 0 :
Plus généralement : uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ
Cas particulier : 1 + q + q² + … + qⁿ = 1 − qⁿ⁺¹1 − q
🎮 Simulateur — Suite géométrique
✏️ Exemple — u₀ = 3, q = 2 → calculer u₅ et u₁₀
Suites arithmético-géométriques
Une suite (uₙ) est arithmético-géométrique s'il existe a ≠ 0, a ≠ 1 et b ≠ 0 tels que :
Le point fixe ℓ est la valeur qui vérifie ℓ = aℓ + b. On obtient :
On pose vₙ = uₙ − ℓ. Alors (vₙ) est une suite géométrique de raison a :
Et finalement :
✏️ Exemple complet — u₀ = 5, uₙ₊₁ = 2uₙ − 3
vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 3 = (2uₙ − 3) − 3 = 2uₙ − 6 = 2(uₙ − 3) = 2vₙ
Donc (vₙ) est géométrique de raison q = 2.
Un objet à 80°C est placé dans une pièce à 20°C. Chaque minute, la température perd 10% de l'écart avec l'ambiant :
Stock initial de 1000 unités. Chaque semaine : vente de 40% du stock, réception de 300 unités :
Reconnaître & comparer les types
Calculer uₙ₊₁ − uₙ : si c'est constant = r → arithmétique.
Ou vérifier si uₙ = an + b (forme affine).
Calculer uₙ₊₁uₙ : si c'est constant = q → géométrique.
Ou vérifier si uₙ = a × qⁿ (forme exponentielle).
Si uₙ₊₁ = auₙ + b avec a ≠ 0, a ≠ 1, b ≠ 0.
Ni arithmétique ni géométrique — utiliser la méthode du point fixe.
| Arithmétique | Géométrique | Arith.-géom. | |
|---|---|---|---|
| Récurrence | uₙ₊₁ = uₙ + r | uₙ₊₁ = q·uₙ | uₙ₊₁ = a·uₙ + b |
| Terme général | uₙ = u₀ + n·r | uₙ = u₀·qⁿ | uₙ = ℓ + (u₀−ℓ)·aⁿ |
| Paramètre clé | r = uₙ₊₁ − uₙ | q = uₙ₊₁uₙ | ℓ = b1−a |
| Somme | (n+1)·(u₀+uₙ)2 | u₀·1−qⁿ⁺¹1−q | Méthode auxiliaire |
| Limite | ±∞ ou constante | 0, ±∞ ou constante | ℓ (si |a|<1) |
✔ Suite arithmétique de raison r = 3 → uₙ = 5 + 3n
✔ Suite géométrique de raison q = 3 → vₙ = 2 × 3ⁿ
✔ Suite arithmético-géométrique — ℓ = −2/(1−3) = 1 = w₀ → suite constante wₙ = 1
Limites de suites
| Arithmétique | Géométrique | Arith.-géom. | |
|---|---|---|---|
| Relation | uₙ₊₁ = uₙ + r | uₙ₊₁ = q·uₙ | uₙ₊₁ = a·uₙ + b |
| Terme général | uₙ = u₀ + n·r | uₙ = u₀·qⁿ | uₙ = ℓ+(u₀−ℓ)·aⁿ |
| Raison / param. | r = uₙ₊₁ − uₙ | q = uₙ₊₁uₙ | ℓ = b1−a |
| Somme Sₙ | (n+1)·(u₀+uₙ)2 | u₀·1−qⁿ⁺¹1−q | Via suite auxiliaire |
| Cas particulier | 1+…+n = n(n+1)2 | 1+q+…+qⁿ = 1−qⁿ⁺¹1−q | Si u₀ = ℓ : constante |