Vocabulaire, effectifs et représentations
Une étude statistique porte sur une population, constituée d'individus (ou unités statistiques). On étudie sur cette population un caractère :
• qualitatif : les modalités ne sont pas des nombres (ex : couleur préférée)
• quantitatif discret : les valeurs sont des nombres isolés (ex : nombre d'enfants)
• quantitatif continu : les valeurs sont regroupées en classes/intervalles (ex : taille en cm)
Pour une modalité donnée :
| Grandeur | Définition |
|---|---|
| Effectif | nombre d'individus ayant cette modalité |
| Effectif total N | somme de tous les effectifs |
| Fréquence | effectif ÷ effectif total (souvent en %) |
| Effectif cumulé croissant | somme des effectifs des modalités ≤ à celle-ci |
| Fréquence cumulée croissante | somme des fréquences des modalités ≤ à celle-ci |
La somme de toutes les fréquences vaut toujours 1 (soit 100%).
| Enfants | Effectif | Fréquence | Eff. cumulé | Fréq. cumulée |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 7,5 % | 3 | 7,5 % |
| 1 | 10 | 25 % | 13 | 32,5 % |
| 2 | 15 | 37,5 % | 28 | 70 % |
| 3 | 8 | 20 % | 36 | 90 % |
| 4 | 4 | 10 % | 40 | 100 % |
Par exemple, 70 % des foyers ont au plus 2 enfants (fréquence cumulée croissante à la modalité « 2 »).
📊 Diagramme en bâtons — caractère quantitatif discret
Pour un caractère quantitatif continu (valeurs regroupées en classes), on utilise un histogramme : l'aire de chaque rectangle (et non sa hauteur) doit être proportionnelle à l'effectif de la classe.
🎮 Calculateur — fréquences et cumuls
Caractéristiques de position
En 3ème, vous avez appris à calculer la moyenne, la médiane, l'étendue (Max − Min) et la fréquence d'une série. En 2nde, on enrichit ces outils avec les quartiles pour mieux décrire la dispersion d'une série.
La moyenne d'une série de n valeurs x₁, x₂, …, xₙ est :
x̄ = x₁ + x₂ + … + xₙn
Lorsque les valeurs x₁, x₂, …, xₖ sont affectées de poids (effectifs ou coefficients) n₁, n₂, …, nₖ — par exemple des notes avec des coefficients, ou des valeurs regroupées par modalité — la moyenne pondérée est :
x̄ = n₁x₁ + n₂x₂ + … + nₖxₖn₁ + n₂ + … + nₖ
C'est la même formule que la moyenne « simple », en comptant chaque valeur autant de fois que son poids.
x̄ = (12×2 + 15×3 + 8×1) / (2+3+1) = (24 + 45 + 8) / 6 = 77/6 ≈ 12,83
🎮 Calculateur — moyenne pondérée
La médiane M d'une série ordonnée est une valeur qui partage la série en deux moitiés égales : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Pour la déterminer : valeur du milieu pour un effectif impair, moyenne des deux valeurs centrales pour un effectif pair.
Les quartiles partagent la série rangée en quatre quarts d'effectif égal :
- Q1 (premier quartile) : au moins 25 % des valeurs sont ≤ Q1
- Q2 = M (médiane) : au moins 50 % des valeurs sont ≤ M
- Q3 (troisième quartile) : au moins 75 % des valeurs sont ≤ Q3
🔧 Méthode — comment calculer Q1 et Q3 ?
✏️ Exemple — 20 notes de la classe, rangées dans l'ordre croissant
Série (n = 20) : 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 18 ; 19 ; 19 ; 19
L'écart interquartile (noté EI) est défini par :
EI = Q3 − Q1
Il mesure la dispersion des 50 % des valeurs centrales : plus EI est petit, plus les données sont regroupées autour de la médiane.
Pour les 20 notes : EI = 17,5 − 10 = 7,5 points
Résumé en 5 nombres :
🎮 Calculateur — résumé d'une série statistique
Dispersion, boîte à moustaches et comparaison
On a vu en partie 2 : étendue = Max − Min et écart interquartile EI = Q3 − Q1 (dispersion des 50 % de valeurs centrales, moins sensible aux valeurs extrêmes que l'étendue). On complète maintenant avec la variance et l'écart-type, puis le diagramme en boîte.
Pour une série de moyenne x̄ :
V = (x₁−x̄)² + (x₂−x̄)² + … + (xₙ−x̄)²n σ = √V
Plus l'écart-type σ est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
La boîte à moustaches représente cinq valeurs : le minimum, Q1, la médiane, Q3 et le maximum.
• la boîte s'étend de Q1 à Q3 (elle contient 50 % des valeurs), avec un trait à la médiane ;
• les moustaches relient la boîte au minimum et au maximum.
🎮 Calculateur — boîtes à moustaches et comparaison de deux séries
M : valeur du milieu (n impair) ou moyenne des 2 valeurs centrales (n pair)
Q1, Q3 : médianes des moitiés inférieure et supérieure
Écart interquartile = Q3 − Q1
V = Σ(xᵢ−x̄)² / n · σ = √V
Variations, coefficient multiplicateur et évolutions
Si une grandeur passe d'une valeur initiale VI à une valeur finale VF :
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Variation absolue | Va = VF − VI |
| Variation relative (taux d'évolution) | t = Va / VI = (VF − VI) / VI |
Le taux d'évolution t est souvent exprimé en pourcentage. Si t > 0, c'est une hausse ; si t < 0, c'est une baisse.
Le coefficient multiplicateur CM associé à une évolution vérifie :
CM = VFVI c'est-à-dire VF = VI × CM
| Évolution | Coefficient multiplicateur |
|---|---|
| Hausse de t % | CM = 1 + t/100 |
| Baisse de t % | CM = 1 − t/100 |
Hausse — 80 € → 92 €
t = 12/80 = 0,15 = +15 %
CM = 92/80 = 1,15
Baisse — 5000 hab. → 4600 hab.
t = −400/5000 = −8 %
CM = 4600/5000 = 0,92
De CM à t — CM = 1,2
t = (1,2−1)×100 = +20 %
De CM à t — CM = 0,75
t = (0,75−1)×100 = −25 %
Si une grandeur subit successivement plusieurs évolutions de coefficients multiplicateurs CM₁, CM₂, …, CMₖ, le coefficient multiplicateur global de l'évolution totale est :
CMglobal = CM₁ × CM₂ × … × CMₖ
✏️ Exemple — hausse de 10 % puis baisse de 10 %
Pour « annuler » une évolution de coefficient multiplicateur CM et retrouver la valeur initiale à partir de la valeur finale, il faut appliquer le coefficient multiplicateur réciproque :
CM' = 1CM
Exemple : une hausse de 25 % (CM = 1,25) est annulée par un coefficient CM' = 1/1,25 = 0,8, soit une baisse de 20 % (et non 25 % !).