Produit scalaire — MathsPrime

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Définition — normes et angle

📖 Définition 1 — Produit scalaire

Soient u et v deux vecteurs non nuls et θ l'angle qu'ils forment. Le produit scalaire de u et v est le nombre réel :

u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ

Si u = 0 ou v = 0, on pose u · v = 0. Le résultat est un nombre, pas un vecteur.

🔎 Remarque 1 — Signe du produit scalaire

Si θ est aigu (0° ≤ θ < 90°) : cos θ > 0 donc u · v > 0.
Si θ = 90° : cos θ = 0 donc u · v = 0 (vecteurs orthogonaux).
Si θ est obtus (90° < θ ≤ 180°) : cos θ < 0 donc u · v < 0.

📌 Propriété 1 — Carré scalaire

Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même donne le carré de sa norme :

u · u = ‖u‖²　(noté aussi u²)

✏️ Exemple 1 — Avec normes et angle

‖u‖ = 4, ‖v‖ = 3 et θ = 60° :

u · v = 4 × 3 × cos(60°) = 12 × ½ = 6

🎮 Produit scalaire à partir des normes et de l'angle

‖u‖

‖v‖

θ°

Produit scalaire u·v

2

Expression avec les coordonnées

📌 Propriété 2 — Calcul avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé :

Dans le plan

u(x;y), v(x';y')
u·v = xx' + yy'

Dans l'espace

u(x;y;z), v(x';y';z')
u·v = xx' + yy' + zz'

✏️ Exemples 2

u(2;3) et v(4;−1) (plan)

2×4 + 3×(−1) = 8 − 3
= 5

u(1;−2;3) et v(2;1;−1)

1×2 + (−2)×1 + 3×(−1)
= 2 − 2 − 3 = −3

u(5;0) et v(0;7)

5×0 + 0×7 = 0
→ orthogonaux

u(−3;2;1), v(1;1;1)

−3 + 2 + 1 = 0
→ orthogonaux

🔎 Remarque 2 — Lien entre les deux formules

Les deux expressions donnent le même nombre. La première (normes et angle) est pratique quand on connaît une figure ; la seconde (coordonnées) quand on travaille dans un repère. On peut passer de l'une à l'autre :

cos θ = (u·v)‖u‖ × ‖v‖

🎮 Calculateur produit scalaire (plan ou espace)

Produit scalaire et orthogonalité

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Projection orthogonale

📖 Définition 2 — Projeté orthogonal

Soient trois points O, A, B. On appelle H le projeté orthogonal de B sur la droite (OA) : c'est le pied de la perpendiculaire abaissée de B sur (OA).

🎨 Projeté orthogonal de B sur (OA)

H = projeté de B — OA·OB = OA·OH

📌 Propriété 3 — Produit scalaire et projection

Avec H le projeté orthogonal de B sur (OA) :

OA · OB = OA × OH

OH est la mesure algébrique (positive si H est du côté de A, négative sinon). On a OH = OB × cos θ, ce qui redonne bien ‖OA‖ × ‖OB‖ × cos θ.

✏️ Exemple 3 — Avec la projection

OA = 5, OB = 6 et l'angle AOB = 60°.

OH = OB × cos(60°) = 6 × ½ = 3
OA · OB = 5 × 3 = 15

🎮 Produit scalaire par projection — OA·OB

OA

OB

θ°

Projeté et produit scalaire

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Orthogonalité

📖 Définition 3 — Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

u ⊥ v ⟺ u · v = 0

✏️ Exemples 4

u(3;2) et v(2;−3) (plan)

3×2 + 2×(−3) = 6 − 6 = 0
u ⊥ v ✓

u(1;2;2) et v(2;1;−2)

2 + 2 − 4 = 0
u ⊥ v ✓

u(1;3) et v(2;5) ?

1×2 + 3×5 = 17 ≠ 0
❌ Non orthogonaux

Triangle rectangle en A ?

AB·AC = 0
⟺ rectangle en A

🔎 Remarque 3 — Application aux figures

L'orthogonalité par le produit scalaire sert à démontrer qu'un triangle est rectangle, que deux droites sont perpendiculaires, ou qu'une droite est hauteur d'un triangle, sans avoir besoin de figure précise.

🎮 Test d'orthogonalité — u·v = 0 ?

Produit scalaire et conclusion

📌 Propriété 4 — Vecteur normal à une droite (application dans le plan)

Si une droite d a pour vecteur directeur u(a ; b), alors n(−b ; a) est un vecteur normal à d : il est orthogonal à u, donc perpendiculaire à d.

Une droite d'équation ax + by + c = 0 admet n(a ; b) comme vecteur normal.

Réciproquement, la droite passant par A(x_A ; y_A) et de vecteur normal n(a ; b) a pour équation cartésienne :

a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0

✏️ Exemple 4bis — construire l'équation d'une droite

A(1 ; 2), n(3 ; −1)
3(x−1) − 1(y−2) = 0
3x − 3 − y + 2 = 0
3x − y − 1 = 0

🎮 Calculateur — vecteur normal et équation de droite

Résultat

5

Angle entre deux vecteurs

📌 Propriété 5 — Cosinus de l'angle

À partir de la double expression du produit scalaire, l'angle θ = (u, v) vérifie :

cos θ = (u · v)‖u‖ × ‖v‖

On en déduit θ à l'aide de la touche cos⁻¹ (ou arccos) de la calculatrice.

✏️ Exemple 5 — Calcul d'un angle

u(3;1) et v(2;4) :

u·v = 3×2 + 1×4 = 10
‖u‖ = √10, ‖v‖ = √20
cos θ = 10√10 × √20 = 10√200 ≈ 0,707
θ = cos⁻¹(0,707) ≈ 45°

🎮 Calculateur d'angle (u, v)

Angle entre les deux vecteurs

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Longueurs dans le plan et l'espace

📌 Propriété 6 — Longueur AB

Comme AB = ‖AB‖ et AB · AB = AB², on retrouve :

Dans le plan

AB = √((x_B−x_A)² + (y_B−y_A)²)

Dans l'espace

AB = √((x_B−x_A)² + (y_B−y_A)² + (z_B−z_A)²)

✏️ Exemples 6

A(1;2), B(4;6) (plan)

√(3² + 4²) = √25 = 5

A(1;2;−1), B(4;0;3)

√(9 + 4 + 16) = √29 ≈ 5,39

🎮 Calculateur de longueur AB

Longueur AB

7

Formule d'Al-Kashi (loi des cosinus)

📌 Propriété 7 — Énoncé

Dans un triangle ABC quelconque, en notant A l'angle géométrique en A :

BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(A)

Par permutation des sommets, on obtient de la même façon AC² (avec l'angle en B) et AB² (avec l'angle en C).

⚠️ Cette formule généralise le théorème de Pythagore : si A = 90°, alors cos(A) = 0 et on retrouve BC² = AB² + AC².

📖 Démonstration à l'aide du produit scalaire

D'après la relation de Chasles, BC = AC − AB, donc :
BC² = BC·BC = (AC − AB)·(AC − AB)
= AC² − 2 AC·AB + AB²
= AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(A)

On retrouve ici les identités remarquables vectorielles vues plus haut, appliquées à BC = AC − AB.

✏️ Exemples 7 — les deux sens de la formule

Trouver un côté — AB=5, AC=7, Â=60°

BC² = 5² + 7² − 2×5×7×cos(60°)
BC² = 25+49−70×0,5 = 39
BC = √39 ≈ 6,24

Trouver un angle — AB=4, AC=5, BC=6

cos(Â) = AB²+AC²−BC²2×AB×AC
cos(Â) = 16+25−3640 = 0,125
Â ≈ 82,8°

🎮 Calculateur d'Al-Kashi

Résultat

8

Propriétés & récapitulatif

📌 Propriété 8 — Règles de calcul

Symétrie : u · v = v · u
Bilinéarité : (ku) · v = k(u · v) et u · (v + w) = u · v + u · w
Carré scalaire : u · u = ‖u‖²

📌 Propriété 9 — Identités remarquables vectorielles

‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u·v + ‖v‖²
‖u − v‖² = ‖u‖² − 2 u·v + ‖v‖²

Exercice 1 — Triangle rectangle ?

A(1;1), B(4;2), C(2;7)
AB(3;1), AC(1;6)
AB·AC = 3 + 6 = 9 ≠ 0
Pas rectangle en A

Exercice 2 — Angle

u(1;0), v(1;1)
cos θ = 11 × √2 ≈ 0,707
θ = 45°

Exercice 3 — Projection

OA = 4, OB = 8, angle AOB = 120°
OH = 8 × cos(120°) = 8 × (−½) = −4
OA·OB = 4 × (−4) = −16

📋 Formules essentielles

Notion	Expression
Définition (normes et angle)	u·v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ
Coordonnées (plan)	u·v = xx' + yy'
Coordonnées (espace)	u·v = xx' + yy' + zz'
Projection orthogonale	OA·OB = OA × OH
Orthogonalité	u·v = 0 ⟺ u ⊥ v
Angle	cos θ = u·v‖u‖ ‖v‖
Carré scalaire	u·u = ‖u‖²
Vecteur normal à ax+by+c=0	n(a ; b)
Formule d'Al-Kashi	BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(Â)
Longueur AB	√((x_B−x_A)² + (y_B−y_A)² [+ (z_B−z_A)²])