Fonction exponentielle

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Définition et propriétés algébriques

📖 Définition 1 — La fonction exponentielle

On admet qu'il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que :

f' = f et f(0) = 1

Cette fonction est appelée fonction exponentielle. Pour tout réel x, on note :

exp(x) = eˣ

Le nombre e = exp(1) ≈ 2,71828... est un nombre irrationnel (comme π). On a e⁰ = 1 et e¹ = e.

📌 Propriété 1 — Relation fonctionnelle

Pour tous réels a et b :

e^a+b = e^a × e^b

C'est cette propriété qui donne son nom à la fonction : elle transforme une somme en produit, comme les puissances usuelles.

📌 Propriété 2 — Conséquences algébriques

Écriture	Forme équivalente	Conditions
e⁰	1	—
e^−a	1 / eᵃ	a ∈ ℝ
e^a−b	eᵃ / eᵇ	a,b ∈ ℝ
(eᵃ)ⁿ	e^na	n entier relatif
eᵃ	toujours > 0	quel que soit a

✏️ Exemples 1 à 4 — utiliser les règles de calcul

Produit — e³ × e⁻⁵

On additionne les exposants : 3 + (−5) = −2
= e⁻²

Quotient — e⁵ / e²

On soustrait les exposants : 5 − 2 = 3
= e³

Puissance — (e²)³

On multiplie l'exposant : 2 × 3 = 6
= e⁶

Opposé — 1 / e⁻⁴

On change le signe de l'exposant : −(−4) = 4
= e⁴

🎮 Calculateur — règles de calcul avec l'exponentielle

Résultat

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Étude de la fonction exponentielle

📌 Propriété 3 — Signe et dérivée

Pour tout réel x, eˣ > 0. La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et :

(eˣ)' = eˣ

Plus généralement, si u est une fonction dérivable, alors e^u est dérivable et (dérivation des fonctions composées) :

(e^u)' = u' × e^u

📌 Propriété 4 — Sens de variation

Comme eˣ > 0 pour tout x, la dérivée de la fonction exponentielle est toujours strictement positive. Donc :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

📌 Propriété 5 — Limites (admises)

Limite	Interprétation
lim (x→−∞) eˣ = 0	asymptote horizontale y = 0 en −∞
lim (x→+∞) eˣ = +∞	croissance vers l'infini
lim (x→−∞) x·eˣ = 0	croissance comparée (admise)

📌 Tableau de variations

x	−∞		+∞
f'(x)	+	+	+
f(x)	0	↗	+∞

📐 Courbe représentative de f(x) = eˣ

🎮 Calculateur — étude de f(x) = a·eᵇˣ + c

f(x) = a·eᵇˣ + c

a

b

c

Sens de variation, limites et asymptote

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Comparaison, équations et inéquations

📌 Propriété 6 — Stricte monotonie (comparaison)

La fonction exponentielle étant strictement croissante sur ℝ, pour tous réels u et v :

eᵘ = eᵛ ⟺ u = v eᵘ < eᵛ ⟺ u < v

Comparer deux exponentielles revient donc à comparer leurs exposants directement — sans avoir besoin de résoudre l'équation autrement.

✏️ Exemple — résoudre e^2x−1 = e^x+3

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Par stricte monotonie, l'égalité équivaut à :
2x − 1 = x + 3

2

2x − x = 3 + 1 ⟺ x = 4

3

Résultat : S = {4}

✏️ Exemple — résoudre e^3x < e^x+4

1

Par stricte monotonie, l'inéquation équivaut à :
3x < x + 4

2

3x − x < 4 ⟺ 2x < 4 ⟺ x < 2

3

Résultat : S = ]−∞ ; 2[

🎮 Calculateur — résoudre e^u(x) ? e^v(x)

Solution

📈 Application — croissance exponentielle

Une culture de bactéries compte N(t) = 200·e^0,4t bactéries après t heures.

• N(0) = 200 : population initiale.
• Comme 0,4 > 0, la fonction est strictement croissante : la population ne cesse d'augmenter.
• lim (t→+∞) N(t) = +∞ : le modèle prévoit une croissance sans limite (valable à court terme seulement).

📋 Formules algébriques

e^a+b = eᵃ·eᵇ · e^−a = 1/eᵃ
e^a−b = eᵃ/eᵇ · (eᵃ)ⁿ = e^na
eᵃ > 0 pour tout réel a

📋 Étude de la fonction

(eˣ)' = eˣ · (e^u)' = u'·e^u
croissante sur ℝ · lim₋∞ eˣ = 0 · lim₊∞ eˣ = +∞
eᵘ = eᵛ ⟺ u = v

Fonction Exponentielle