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Les Quadrilatères
📖 Définition 1 — Quadrilatère
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.
- 4 côtés : [AB], [BC], [CD], [DA]
- 4 sommets : A, B, C, D
- 2 diagonales : [AC] et [BD] (en rouge)
- [AB] et [BC] sont consécutifs (côtés adjacents)
- [AB] et [CD] sont opposés
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Le Parallélogramme
📖 Définition 2 — Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés 2 à 2 parallèles.
(AB) // (DC) et (BC) // (AD)
📌 Propriété 1 — 3 caractérisations équivalentes
- Côtés opposés 2 à 2 parallèles ↔ Et réciproquement
- Côtés opposés 2 à 2 de même longueur ↔ Et réciproquement
- 2 côtés opposés parallèles et de même longueur ↔ Et réciproquement
📌 Propriété 2 — Diagonales
Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. Et réciproquement.
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Rectangle, Losange et Carré
🌳 Famille des parallélogrammes particuliers
▱ Parallélogramme
↙ ↘
▭ Rectangle
+ 4 angles droits ◇ Losange
+ 4 côtés égaux
+ 4 angles droits ◇ Losange
+ 4 côtés égaux
↘ ↙
■ Carré = Rectangle + Losange
▱ Parallélogramme
Côtés opposés // et égaux.
Diagonales : se coupent en leur milieu.
▭ Rectangle
Parallélogramme avec 4 angles droits.
Diagonales : milieu + même longueur.
◇ Losange
Parallélogramme avec 4 côtés de même longueur.
Diagonales : milieu + perpendiculaires.
■ Carré
4 angles droits et 4 côtés égaux.
Diagonales : milieu + ⊥ et égales.
| Propriété | ▱ Parallélogramme | ▭ Rectangle | ◇ Losange | ■ Carré |
|---|---|---|---|---|
| Côtés opp. // et = | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| 4 angles droits | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ |
| 4 côtés égaux | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ |
| Diagonales : milieu | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| Diagonales égales | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ |
| Diagonales ⊥ | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ |
📌 Propriété 3 — Réciproques (diagonales)
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et :
→ Rectangle
Les diagonales sont de même longueur.
→ Losange
Les diagonales sont perpendiculaires.
→ Carré
Les diagonales sont de même longueur ET perpendiculaires.
🔎 Remarques importantes
- Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
- Un rectangle n'est pas forcément un carré.
- Un losange n'est pas forcément un carré.
- Un quadrilatère qui a 3 angles droits est un rectangle.
- Un parallélogramme qui a 1 angle droit est un rectangle.