📚 6ème — Chapitre

Symétrie Centrale

Centre de symétrie, symétrique d'un point par rapport à un centre — définitions, constructions et propriétés

🔄 Demi-tour 📍 Centre O = milieu 🔺 Polygone et cercle ⟺ Longueurs, angles, aire
📋 Sommaire
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Introduction

📖 Définition 1 — Symétrie centrale

Deux figures sont symétriques par rapport à un point O (appelé centre de symétrie) si, lorsqu'on fait tourner l'une d'elle d'un demi-tour (180°) autour de O, les deux figures se superposent parfaitement.

🔄 Démonstration — rotation d'un demi-tour autour de O

← Tourne la figure (0° → 180°) — à 180° elle se superpose à l'image →
📖 Définition 2 — Symétrique d'un point

Le symétrique de A par rapport au point O est le point A′ tel que O est le milieu de [AA′].

A O A' OA OA' OA = OA'
O est le milieu de [AA'] :
OA = OA'
A et A' sont de part et d'autre de O, alignés avec O.

⚖️ Symétrie axiale vs centrale — quelle différence ?

(d)

🪞 Symétrie Axiale

Pliage le long d'une droite (axe).
Image = miroir.

O

🔄 Symétrie Centrale

Rotation de 180° autour d'un point (centre).
Image = retournée.

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Constructions

Symétrique d'un point

Méthode 1 — Avec la règle

  1. Tracer la droite passant par A et O.
  2. Mesurer la distance OA.
  3. Reporter OA de l'autre côté de O → A′.

Sur quadrillage : compter les carreaux dans les deux directions.

Méthode 2 — Avec le compas

  1. Tracer la droite passant par A et O.
  2. Ouvrir le compas sur OA.
  3. Piquer en O et reporter de l'autre côté → A′.

Plus précise quand les distances ne tombent pas sur les carreaux.

🎮 Construction interactive — symétrique d'un point par rapport à O

Clique pour placer A — déplace O en maintenant le clic droit
Clique pour placer A → A′ apparaît en orange. O est le milieu de [AA′].

🎮 Symétrie centrale interactive — place plusieurs points

Clique pour placer des points autour de O — leur symétrique apparaît en orange. À partir de 2 points, la figure et son image sont reliées.

Symétrique d'un segment ou d'un polygone

✏️ Méthode
  1. Construire le symétrique de chaque sommet par rapport à O.
  2. Relier les symétriques dans le même ordre.
🔎 Remarque 2 — Cas du cercle

Pour le symétrique d'un cercle : on fait le symétrique du centre O, puis on trace un cercle de même rayon.

🎮 Symétrique d'un triangle — déplace le centre O

Centre O :
Choisis si O est à l’extérieur ou à l’intérieur du triangle ABC — O est toujours le milieu de [AA′], [BB′] et [CC′]

🎮 Symétrique d'un cercle — centre O → O′, même rayon r

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Les deux cercles sont symétriques par rapport à O — même rayon, centres opposés
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Conservation — longueurs, angles, aire et alignement

📌 Propriété 1 — Ce que conserve la symétrie centrale
📏 Longueurs (et périmètre) 📐 Angles 📦 Aire ↔ Alignement des points ∥ Parallélisme des droites
🔎 Remarque 3 — Droites parallèles

Le symétrique d'une droite par la symétrie centrale est une droite parallèle. Le parallélisme est conservé : les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.

✏️ Exemple 4 — Application au triangle ABC

Les triangles ABC et A′B′C′ ont le même périmètre et la même aire. On a les égalités d'angles :

∠ABC = ∠A′B′C′ ∠BAC = ∠B′A′C′ ∠ACB = ∠A′C′B′

Les droites (AB) et (A′B′) sont parallèles.

📋 Comparaison — ce qui est conservé

Propriété 🪞 Symétrie axiale 🔄 Symétrie centrale
Longueurs✓✓
Angles✓✓
Aire✓✓
Alignement✓✓
Parallélisme✓✓
Orientation (sens)✗ Inversée✓ Conservée