Nombres Relatifs — MathsPrime

1

Notions de base

📖 Définition 1 — Nombre relatif

Un nombre relatif est un nombre composé d'un signe ( + ou − ) et d'une valeur numérique appelée distance à zéro.

✏️ Exemples de nombres relatifs

−4 +12 −24,9 18,25 102 −54

📖 Définition 2 — Positif, négatif, zéro

Lorsque le signe est " − ", il s'agit d'un nombre négatif. Ce sont les nombres inférieurs à 0.
Lorsque le signe est " + " ou qu'il n'y a pas de signe (le + est sous-entendu), il s'agit d'un nombre positif. Ce sont les nombres supérieurs à 0.
0 est à la fois positif et négatif.
Un nombre strictement positif est supérieur à 0 (noté a > 0 au lieu de a ≥ 0). De même, un nombre strictement négatif est strictement inférieur à 0.

🔎 Remarque — Droite graduée

Pour mieux comprendre, on peut utiliser la droite graduée.

Plaçons : A(−2,5), B(+3,5), C(3,25) et D(−2,75)

2

Additions et soustractions

Additions

Cas 1 — Même signe

Le résultat garde le même signe
On additionne les distances à zéro

Cas 2 — Signes différents

Le signe du nombre à plus grande distance
On soustrait les distances à zéro

📌 Propriété 1 — Même signe

Le résultat garde le même signe et on fait la somme des distances à zéro.

✏️ Exemples

Deux positifs

(+4,5) + (+11,2) = +(4,5 + 11,2) = +15,7

Deux négatifs

(−5,8) + (−4,4) = −(5,8 + 4,4) = −10,2

📌 Propriété 2 — Signes différents

Le résultat a le signe du nombre à plus grande distance à zéro, et on fait la différence entre la plus grande et la plus petite distance.

✏️ Exemples

15,9 > 10,7 → résultat négatif

(+10,7) + (−15,9) = −(15,9 − 10,7) = −5,2

17 > 12 → résultat positif

(−12) + (+17) = +(17 − 12) = +5

📖 Définition 3 — Opposé d'un nombre

L'opposé d'un nombre est le nombre avec lequel la somme fait 0.

L'opposé de 4 est −4

L'opposé de −1,5 est +1,5

Soustractions

📌 Propriété 3 — Soustraire = ajouter l'opposé

Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.

Cette propriété permet de se ramener à une addition de nombres relatifs.

✏️ Exemples

(+7) − (+12)

(+7) − (+12) = (+7) + (−12) = −(12 − 7) = −5

(+9) − (−14)

(+9) − (−14) = (+9) + (+14) = +(9 + 14) = +23

Suppression des parenthèses

📌 Propriété 4 — Supprimer les parenthèses

Si on a un + devant les parenthèses → les signes ne changent pas.
Si on a un − devant les parenthèses → les signes à l'intérieur changent tous.

On applique : "Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé".

✏️ Exemples

+ devant → signes inchangés

8 + (−12 + 4 − 5) = 8 − 12 + 4 − 5 = 8 + 4 − 12 − 5 = −5

− devant → tous les signes changent

11 − (−4 + 19 − 2) = 11 +4 −19 +2 = 11 + 4 + 2 − 19 = −2

🎮 Calculatrice interactive — additions et soustractions

=

Résultat

−5

3

Multiplications et divisions

📌 Propriété 5 — Règle des signes

On détermine d'abord le signe, puis on calcule le produit ou quotient des valeurs numériques.

✅ Même signe → Positif

(+) × (+) = (+)
(−) × (−) = (+)

❌ Signes différents → Négatif

(+) × (−) = (−)
(−) × (+) = (−)

✏️ Exemples

(−5) × (−2)

(−5) × (−2) = + 5 × 2 = +10

(−7) × (+3)

(−7) × (+3) = − 7 × 3 = −21

+40 ÷ (−10)

+40 ÷ (−10) = − (40 ÷ 10) = −4

(−6) ÷ (−2)

(−6) ÷ (−2) = + (6 ÷ 2) = +3

📌 Propriété 6 — Produit de plusieurs facteurs

Pour un produit (ou quotient) avec plusieurs facteurs, on compte le nombre de facteurs négatifs :

Nombre de négatifs pair → résultat positif
Nombre de négatifs impair → résultat négatif

🔍 Compter les facteurs négatifs

Exemple 1

(−4)× (+2)× (−5)× (−10)× (+3)

3 négatifs → impair = − 4×2×5×10×3 = −1 200

Exemple 2

5× (−1)× (−2)× 4

2 négatifs → pair = + 5×1×2×4 = +40