📚 4ème / 3ème — Chapitre

Transformations du Plan

Symétrie axiale, centrale, translation, rotation et homothétie — définitions, propriétés et illustrations interactives

🪞 Symétrie axiale 🔄 Symétrie centrale ➡️ Translation 🔃 Rotation 🔍 Homothétie
📋 Sommaire
Transformation 1
🪞 Symétrie Axiale
Axe (droite) — image miroir
Transformation 2
🔄 Symétrie Centrale
Centre O — demi-tour 180°
O
Transformation 3
➡️ Translation
Vecteur IJ — glissement
IJ
Transformation 4
🔃 Rotation
Centre + angle + sens
α
1

Symétrie Axiale

📖 Définition 1

H′ est l'image de H par la symétrie d'axe (D) si (D) est la médiatrice du segment [HH′].

On dit aussi que H′ est le symétrique de H par rapport à (D).

(D) ⊥ [HH′] au milieu M  ·  HM = MH′

🎮 Symétrie axiale interactive

Axe :
Clique pour placer des points — le symétrique apparaît en orange. Relier les points A→B→C puis A′→B′→C′.
2

Symétrie Centrale

📖 Définition 2

F′ est l'image de F par la symétrie de centre O si O est le milieu du segment [FF′].

On dit aussi que F′ est le symétrique de F par rapport à O.

🎮 Symétrie centrale interactive — clique pour placer des points

Clique pour placer des points autour de O — leur symétrique A′ apparaît automatiquement en orange.
3

Translation

📖 Définition 3

D′ est l'image de D par la translation qui transforme I en J.

C'est un glissement — chaque point est déplacé de la même façon (même direction, même distance, même sens).

🎮 Translation interactive — vecteur IJ

Vecteur dx : 120 dy : -60
Modifie le vecteur IJ (dx, dy) — la figure bleue glisse de manière identique pour donner l'image rouge.
4

Rotation

📖 Définition 4

Une rotation se définit par un centre O, un angle α et un sens (horaire ou anti-horaire).

Le sens anti-horaire = sens inverse des aiguilles d'une montre (sens mathématique +).

🎮 Rotation interactive

Angle : 120° Sens :
Change l'angle et le sens pour voir la rotation — O est fixe au centre.
5

Propriétés comparées

Propriété 🪞 Axiale 🔄 Centrale ➡️ Translation 🔃 Rotation
Longueurs (périmètre)✓✓✓✓
Angles✓✓✓✓
Aire✓✓✓✓
Alignement des points✓✓✓✓
Droite → droite parallèle✗✓✓✗
Orientation conservée✗ Miroir✓ oui✓ oui✓ oui
🔎 Remarques importantes
  • Faire deux fois la même symétrie = revenir au point de départ.
  • Une rotation d'angle 180° revient à faire une symétrie centrale (le sens n'importe pas).
  • La translation et la symétrie centrale transforment une droite en droite parallèle.
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Homothétie

📖 Définition 5 — Homothétie de centre O et de rapport k

L'image du point A par l'homothétie de centre O et de rapport k est le point A′ tel que :

✅ k positif

A′ est sur la demi-droite [OA) et OA′ = k × OA.
A et A′ sont du même côté de O.

❌ k négatif

A′ est sur la demi-droite [AO) (côté opposé) et OA′ = −k × OA.
A et A′ sont de part et d'autre de O.

📌 Propriété 1 — Aire

L'aire est multipliée par k² (le carré du rapport).

Aire(image) = k² × Aire(figure)
📌 Propriété 2 — Cas particuliers selon k
|k| > 1 → Agrandissement |k| < 1 → Réduction k = 1 → Même figure k = −1 → Symétrie centrale k = 0 → Tout → O

L'homothétie conserve les angles et l'alignement des points, mais pas les longueurs (sauf si k=±1).

🎮 Homothétie interactive — centre O, rapport k

Rapport k = 2
Modifie le rapport k — observes l'agrandissement (|k|>1), la réduction (|k|<1) et le changement de côté (k<0).