📚 5ème / 3ème — Chapitre

Théorème de Pythagore

Carré, racine carrée, calcul de longueurs et vérification du rectangle avec la réciproque et la contraposée

📐 Triangle rectangle 🔢 Carré & racine carrée 📏 Calculer une longueur 🔄 Réciproque & contraposée
📋 Sommaire
1

Pré-requis : Carré et Racine Carrée

Mettre au carré

📖 Définition 1 — Carré d'un nombre

Soit a un nombre, mettre a au carré signifie qu'on le multiplie par lui-même.

a2 = a × a
✏️ Exemples
32 = 3 × 3 = 9
52 = 5 × 5 = 25
1002 = 100 × 100 = 10 000

Prendre la Racine Carrée

📖 Définition 2 — Racine carrée

Soit b un nombre positif, la racine carrée de b est le nombre positif a tel que a2 = b.

√b = a

La racine carrée, c'est "l'inverse" du carré : on cherche d'où on part pour arriver à b.

✏️ Exemples
√25 = 5
car 52 = 25
√100 = 10
car 10 × 10 = 100
√16 = 4
car 42 = 16
2

Le Théorème de Pythagore

📝 Vocabulaire — Hypoténuse

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté.

A C B Hypoténuse [AC] AB BC 90°
⭐ Théorème 1 — Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

AB2 + BC2 = AC2
côté² + côté² = hypoténuse²

Calculer une longueur

Situation 1 — AC = ?
AB = 6 cm · BC = 4,5 cm

A C B 6 cm 4,5 cm ?
Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore : AB2 + BC2 = AC2 62 + 4,52 = AC2 36 + 20,25 = AC2 AC2 = 56,25 AC = √56,25 = 7,5 cm

Situation 2 — AB = ?
AC = 7,2 cm · BC = 4,8 cm

A C B ? 4,8 cm 7,2 cm
Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore : AB2 + BC2 = AC2 AB2 = AC2 − BC2 AB2 = 7,22 − 4,82 AB2 = 51,84 − 23,04 AB2 = 28,8 AB ≈ 5,4 cm (au dixième)

🎮 Calculateur de longueur — triangle rectangle en B

Résultat — AC
7,5 cm
AC² = 6² + 4,5² = 36 + 20,25 = 56,25 → AC = √56,25
3

Triangle Rectangle ou Non

⭐ Théorème direct (Pythagore)

Si le triangle est rectangle → alors hyp² = côté² + côté²

↩️ Réciproque du théorème

Si hyp² = côté² + côté² → alors le triangle est rectangle

❌ Contraposée du théorème

Si hyp² ≠ côté² + côté² → alors le triangle n'est pas rectangle

Contraposée — Exemple (DEF : 9, 8, 12)

✏️ Exemple 3 — Le triangle DEF est-il rectangle ?
D E F 9 12 8
Plus grand côté : [DF] = 12 DF2 = 122 = 144 DE2 + EF2 = 92 + 82 = 81 + 64 = 145 DE² + EF² ≠ DF² (145 ≠ 144) D'après la contraposée : le triangle DEF n'est pas rectangle.

Réciproque — Exemple (DEF : 4, 3, 5)

✏️ Exemple 4 — Le triangle DEF est-il rectangle ?
D E F 4 5 3
Plus grand côté : [DF] = 5 DF2 = 52 = 25 DE2 + EF2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 DE² + EF² = DF² (25 = 25) ✓ D'après la réciproque : le triangle DEF est rectangle en E.

🎮 Vérificateur interactif — ce triangle est-il rectangle ?

Entre les trois côtés (le plus grand sera automatiquement détecté comme hypoténuse).

Calcul en cours…