📚 4ème — Chapitre

Puissances

Puissances de 10, exposants positifs et négatifs, généralisation et règles de calcul

10ⁿ Puissances de 10 ➕ Exposants positifs ➖ Exposants négatifs ⚙️ Règles de calcul 🔬 Notation scientifique
📋 Sommaire
1

Puissances de 10

Pour exprimer de très grands ou très petits nombres (millions, milliards…), l'outil « puissance » est indispensable. En quelques caractères, on atteint l'infiniment grand ou l'infiniment petit.

📊 Échelle des puissances de 10

10−3
0,001
10−2
0,01
10−1
0,1
100
1
101
10
102
100
103
1 000
106
1 000 000
109
1 milliard

Exposant positif

📖 Définition 1 — Puissance de 10

Soit n un entier positif :

10n = 10 × 10 × … × 10   (n facteurs)

On lit « 10 puissance n ». n est l'exposant.    100 = 1

✏️ Exemples 1

10²

102 = 10 × 10 = 100

10³

103 = 10 × 10 × 10 = 1 000

10⁶

106 = un million = 1 000 000

10⁰

100 = (par définition) = 1

Exposant négatif

📖 Définition 2 — Exposant négatif

10−n est l'inverse de 10n :

10−n = 110n
✏️ Exemples 2

10⁻¹

10−1 = 110 = 0,1

10⁻²

10−2 = 110×10 = 1100 = 0,01

10⁻³

10−3 = 11 000 = 0,001

Opérations sur les puissances de 10

📌 Propriété 1 — Règles de calcul

Soient n et m deux entiers :

Produit 10n × 10m = 10n+m 102 × 103 = 105
Quotient 10n10m = 10n−m 10510−4= 109
Puissance (10n)m = 10n×m (107)2 = 1014
✏️ Exemples 3 — Applications

Produit

102 × 103 = 102+3 = 105

Exposants − et +

10−4 × 107 = 10−4+7 = 103

Quotient

10510−4 = 105−(−4) = 109 = 109

Puissance d'une puissance

(107)2 = 107×2 = 1014

🎮 Calculateur — opérations sur les puissances de 10

×
Résultat
2

Généralisation

📖 Définition 3 — Puissance quelconque

Soient a un nombre et n un entier positif :

Exposant positif
an = a × a × … × a
(n facteurs)
Exposant négatif
a−n = 1an
(inverse de aⁿ)
a0 = 1   pour a ≠ 0   ·   00 n'est pas défini.
✏️ Exemples 4

5³

53 = 5 × 5 × 5 = 125

4⁻¹

4−1 = 14 = 0,25

20⁻⁴

20−4 = 120⁴ = 1160 000 ≈ 0,00000625

32⁰

320 = 1 (par définition) = 1
⚠️ Attention !   (−5)2 ≠ −52 car (−5)2 = 25 et −52 = −25.
🔎 Signe d'une puissance d'un nombre négatif
✅ Exposant pair → résultat positif
(−3)8 = +38
(−5)2 = +25
❌ Exposant impair → résultat négatif
(−3)7 = −37
(−2)3 = −8
📌 Propriété 2 — Règles généralisées

Soient a et b deux nombres, n et m deux entiers :

Produit an × am = an+m 22 × 23 = 25 = 32
Quotient anam = an−m 125127= 12−2
Puissance (an)m = an×m (43)5 = 415
Produit même exp. an × bn = (a×b)n 23 × 53 = 103 = 1000
✏️ Exemples 5

2² × 2³

22 × 23 = 22+3 = 25 = 32

(−5)⁻⁴ × (−5)⁷

(−5)−4 × (−5)7 = (−5)−4+7 = (−5)3 = −125

12⁵ / 12⁷

125127 = 125−7 = 12−2

(4³)⁵

(43)5 = 43×5 = 415

🎮 Calculateur de puissance — aⁿ

Base a
^
=
Résultat
3

Notation scientifique

La notation scientifique permet d'écrire de façon compacte et universelle des nombres très grands (distance Terre-Soleil : 150 000 000 km) ou très petits (taille d'une bactérie : 0,000 002 m).

📖 Définition — Notation scientifique

Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu'il se présente sous la forme :

± a × 10n

où a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 et n est un entier relatif (positif, négatif ou nul). Le signe ± indique que le nombre peut être positif ou négatif.

💡 a est appelé la mantisse et n l'exposant. La mantisse a toujours exactement un chiffre non nul avant la virgule.

Méthode — Comment convertir en notation scientifique

📌 Méthode — Grands nombres (n > 0)
  1. Repérer le premier chiffre non nul du nombre.
  2. Placer la virgule juste après ce chiffre pour obtenir la mantisse a.
  3. Compter de combien de rangs la virgule a été déplacée vers la gauche : c'est l'exposant n.
3 ←déplace de 6 rangs→ 3,000 000  ⟹  3 000 000 = 3 × 106
📌 Méthode — Petits nombres (n < 0)
  1. Repérer le premier chiffre non nul après la virgule.
  2. Placer la virgule juste après ce chiffre pour obtenir la mantisse a.
  3. Compter de combien de rangs la virgule a été déplacée vers la droite : l'exposant est −n.
0,000 052  →  virgule déplacée de 5 rangs  ⟹  0,000 052 = 5,2 × 10−5
✏️ Exemples — Grands nombres

Distance Terre-Soleil

150 000 000 km 1,5 × 108 km

Population mondiale

8 000 000 000 8 × 109

Vitesse de la lumière

300 000 000 m/s 3 × 108 m/s

Un milliard

1 000 000 000 109
✏️ Exemples — Petits nombres

Taille d'un virus

0,000 000 1 m 1 × 10−7 m

Masse d'un électron

0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg 9,11 × 10−31 kg

0,000 52

0,000 52 5,2 × 10−4

0,047

0,047 4,7 × 10−2
⚠️ Attention !   12 × 103 n'est pas en notation scientifique car 12 ≥ 10. Il faut écrire 1,2 × 104.    De même, 0,5 × 102 n'est pas valide car 0,5 < 1 ; on écrit 5 × 101.

🔬 Convertisseur — Notation scientifique

Nombre
⟹
Notation scientifique