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Le Théorème de Thalès
📌 Configuration — triangles semblables
Dans un triangle ABC, si une droite (RS) coupe deux côtés et est parallèle au troisième côté, elle détermine un second triangle semblable au premier.
Le triangle bleu ARS est semblable au triangle vert ABC — R est sur [AB] et S est sur [AC].
⭐ Théorème de Thalès — Égalité des rapports
Deux droites sécantes en O. A et M sur la première, B et N sur la seconde, dans le même ordre. Si (AB) // (MN), alors :
OA
OM
=
OB
ON
=
AB
MN
🔎 Variante dans le triangle
Si D est sur [AB] et E est sur [AC] avec (DE) // (BC), alors :
ADAB
=
AEAC
=
DEBC
Application — Calculer une longueur
✏️ Application 1 — Calculer DE avec (DE) // (BC), AD=10, AB=12, BC=8
A, D, B et A, E, C alignés · (DE) // (BC)
D'après le théorème de Thalès :
ADAB
=
AEAC
=
DEBC
1012
=
11AC
=
DE8
Donc DE
=
8 × 1012
DE ≈ 6,67 cm
🎮 Calculateur Thalès — (DE) // (BC)
Entre trois longueurs connues, la quatrième est calculée automatiquement.
Résultat — DE
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Contraposée et Réciproque
⭐ Théorème direct (Thalès)
Si (AB) // (MN) → alors
OAOM
=
OBON
=
ABMN
↩️ Réciproque
Si
OAOM
=
OBON
(et O, A, M et O, B, N alignés dans le même ordre) → alors (AB) // (MN)
❌ Contraposée
Si
OAOM
≠
OBON
→ alors (AB) et (MN) ne sont pas parallèles
↩️ Réciproque — rapports égaux → droites //
❌ Contraposée — rapports ≠ → droites ∦
Contraposée — (AB) et (MN) parallèles ?
✏️ Exemple 3 — vérifier si (AB) // (MN)
A, O, M et B, O, N alignés dans le même ordre
Calculons
OAOM
et
OBON
:
OAOM
=
2220,1
≈ 1,09
OBON
=
18,620,2
≈ 0,92
OAOM
≠
OBON
D'après la contraposée de Thalès, (AB) et (MN) ne sont pas parallèles.
Réciproque — (KL) et (TU) parallèles ?
✏️ Exemple 4 — vérifier si (KL) // (TU)
K, I, L et T, I, U alignés dans le même ordre
Calculons
IKIL
et
ITIU
:
IKIL
=
1510
=
32
ITIU
=
128
=
32
IKIL
=
ITIU
✓
D'après la réciproque de Thalès, (KL) et (TU) sont parallèles.
🎮 Vérificateur de parallélisme — réciproque / contraposée
O, A, M et O, B, N alignés dans le même ordre. Entre les quatre longueurs OA, OM, OB, ON.
Résultat