📚 4ème — Chapitre

Théorème de Thalès

Égalité des rapports dans les triangles, réciproque et contraposée — démonstrations et calculs interactifs

📐 Triangles semblables ∥ Droites parallèles = Rapports égaux ↩️ Réciproque
📋 Sommaire
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Le Théorème de Thalès

📌 Configuration — triangles semblables

Dans un triangle OAB, si une droite (MN) coupe deux côtés et est parallèle au troisième côté, elle détermine un second triangle semblable au premier.

O A B M N (MN) // (AB)

Le triangle bleu OMN est semblable au triangle vert OAB — M est sur [OA] et N est sur [OB].

⭐ Théorème de Thalès — Égalité des rapports

Deux droites sécantes en O. A et M sur la première, B et N sur la seconde, dans le même ordre. Si (AB) // (MN), alors :

OA OM = OB ON = AB MN
📐 Configuration classique

Deux droites sécantes en O, avec A et M sur la première droite (du même côté de O), B et N sur la seconde (du même côté de O). Les points O, A, M et O, B, N sont alignés dans le même ordre. C'est la configuration habituelle du théorème.

Dans un triangle, si M est sur [OA] et N est sur [OB] avec (MN) // (AB), alors :

OMOA = ONOB = MNAB
🦋 Configuration papillon

Même situation, mais O se trouve entre A et M d'une part, et entre B et N d'autre part : les droites se croisent et les triangles se trouvent de part et d'autre du point O. L'égalité des rapports reste valable :

OAOM = OBON = ABMN
A B M N O (AB) (MN) (AB) // (MN)

Configuration papillon : O est entre A et M (et entre B et N). Les deux triangles AOB et MON sont de part et d'autre de O.

Application — Calculer une longueur

✏️ Application 1 — Calculer DE avec (DE) // (BC), AD=10, AB=12, BC=8
A B C D E AD=10 AE=11 DB=2 BC=8 DE=? (DE)//(BC)
A, D, B et A, E, C alignés · (DE) // (BC)
D'après le théorème de Thalès :
ADAB = AEAC = DEBC
1012 = 11AC = DE8
Donc DE = 8 × 1012
DE ≈ 6,67 cm

🎮 Calculateur Thalès — (DE) // (BC)

Entre trois longueurs connues, la quatrième est calculée automatiquement.

Résultat — DE
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Contraposée et Réciproque

⭐ Théorème direct (Thalès)
Si (AB) // (MN) → alors OAOM = OBON = ABMN
↩️ Réciproque
Si OAOM = OBON (et O, A, M et O, B, N alignés dans le même ordre) → alors (AB) // (MN)
❌ Contraposée
Si OAOM ≠ OBON → alors (AB) et (MN) ne sont pas parallèles
↩️ Réciproque — rapports égaux → droites //
A B M N O OA/OM = OB/ON → (AB)//(MN) ✓
❌ Contraposée — rapports ≠ → droites ∦
A B M N O OA/OM ≠ OB/ON → (AB) ∦ (MN) ✗

Contraposée — (AB) et (MN) parallèles ?

✏️ Exemple 3 — vérifier si (AB) // (MN)
A B M N O OA=22 OM=20,1 OB=18,6 ON=20,2
A, O, M et B, O, N alignés dans le même ordre
Calculons OAOM et OBON :
OAOM = 2220,1 ≈ 1,09
OBON = 18,620,2 ≈ 0,92
OAOM ≠ OBON
D'après la contraposée de Thalès, (AB) et (MN) ne sont pas parallèles.

Réciproque — (KL) et (TU) parallèles ?

✏️ Exemple 4 — vérifier si (KL) // (TU)
K L T U I IK=15 IL=10 IT=12 IU=8
K, I, L et T, I, U alignés dans le même ordre
Calculons IKIL et ITIU :
IKIL = 1510 = 32
ITIU = 128 = 32
IKIL = ITIU ✓
D'après la réciproque de Thalès, (KL) et (TU) sont parallèles.

🎮 Vérificateur de parallélisme — réciproque / contraposée

O, A, M et O, B, N alignés dans le même ordre. Entre les quatre longueurs OA, OM, OB, ON.

Résultat