Probabilités — MathsPrime

Premières définitions

📖 Définition 1 — Expérience aléatoire

Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle comporte plusieurs résultats possibles et qu'on ne peut pas prévoir avec certitude quel résultat se produira.

De plus, on doit pouvoir reproduire l'expérience dans les mêmes conditions.

📖 Définition 2 — Issues

Les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appellent des issues.

✏️ Exemples d'issues

🎲

Lancer un dé non truqué

1 2 3 4 5 6

🔮

Tirer une boule (3 rouges, 2 bleues, 5 vertes)

rouge bleue verte

📖 Définition 3 — Probabilité d'une issue

À chaque issue correspond une probabilité : un nombre compris entre 0 et 1 qui représente la proportion de chances que l'issue se réalise.

0 0,25 0,5 0,75 1

Impossible Peu probable 1 chance sur 2 Très probable Certain

✏️ Exemple 2 — Probabilités des issues

Couleur	Nb	P(issue)
Rouge	3	310
Bleue	2	210 = 15
Verte	5	510 = 12
Total		1

Dé équilibré : P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 16 — on dit qu'il y a équiprobabilité.

📌 Propriété 1 — Somme des probabilités

La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience est égale à 1.

16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 1

310 + 210 + 510 = 1

🎮 Simulateur de dé — vérifie la loi des grands nombres

Lancer fois

🎲

0 lancers — chaque face devrait apparaître environ 1/6 des fois

Notion d'événement

📖 Définition 4 — Événement

Un événement est un énoncé qui peut être réalisé par une ou plusieurs ou aucune issue lors d'une expérience.

📖 Définition 5 — Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des issues qui réalisent cet événement.

✏️ Exemple 4 — Dé à 6 faces

A : « Obtenir au moins 4 » P(A) = 36 = 12

B : « Obtenir 8 » P(B) = 0 (impossible)

C : « Obtenir un entier entre 1 et 6 » P(C) = 1 (certain)

📖 Définition 6 — Types d'événements

Élémentaire

Ne peut être réalisé que par une seule issue.

Impossible

Ne peut être réalisé par aucune issue. P = 0.

Certain

Est réalisé par toutes les issues. P = 1.

Incompatibles

Deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps.

Événement contraire — noté Ā

L'événement contraire de A se réalise lorsque A ne se réalise pas. On note P(Ā) = 1 − P(A).

📌 Propriété 2 — Formule générale de la réunion

Pour tous événements A et B :

P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B)

On retire P(A et B) pour ne pas compter deux fois les issues appartenant aux deux événements à la fois.

✏️ Exemple 6 — Dé à 6 faces, A : « pair », B : « supérieur à 4 »

A = {2, 4, 6} → P(A) = 36 B = {5, 6} → P(B) = 26 A et B = {6} → P(A et B) = 16 P(A ou B) = 36 + 26 − 16 = 46 = 23 A et B sont compatibles : 6 est à la fois pair et supérieur à 4.

📌 Propriété 3

Deux événements incompatibles : P(A ou B) = P(A) + P(B)
Événement et son contraire : P(A) + P(Ā) = 1

✏️ Exemple 7 — Dé, A : « 5 ou 6 », B : « 1 »

A et B sont incompatibles : P(A ou B) = P(A) + P(B) = 26 + 16 = 36 = 12 Contraire de B (« ne pas obtenir 1 ») : P(B̄) = 1 − 16 = 56

🎮 Événement et son contraire — P(A) + P(Ā) = 1

P(A) = 0,30

Événement A

0,30

Contraire Ā

0,70

Total

Expériences à 2 épreuves

Lorsqu'on fait des expériences aléatoires composées de 2 épreuves successives, on utilise des arbres de probabilités pour représenter la situation.

📖 Définition 7 — Arbre de probabilités

Un arbre de probabilités est composé de branches qui relient les issues des expériences et sur lesquelles figurent les probabilités.

📌 Propriété 4 — Multiplication sur le chemin

Pour chaque issue de l'expérience à deux épreuves, on calcule la probabilité en multipliant les probabilités sur le chemin partant de la racine jusqu'à l'issue finale.

✏️ Exemple 7 — Pièce (P/F) puis boule (1 noire, 2 vertes, 2 bleues)

Issue	Chemin	Probabilité
Pile + Bleue	1/2 × 2/5	1/5
Pile + Verte	1/2 × 2/5	1/5
Pile + Noire	1/2 × 1/5	1/10
Face + Bleue	1/2 × 2/5	1/5
Face + Verte	1/2 × 2/5	1/5
Face + Noire	1/2 × 1/5	1/10
Somme totale		1